Average Error: 31.1 → 12.9
Time: 6.9m
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.re \le -1.4704165008404814 \cdot 10^{+78}:\\ \;\;\;\;e^{\log \left(-x.re\right) \cdot y.re - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \sin \left(\log \left(-x.re\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\\ \mathbf{elif}\;x.re \le -3.102365002680375 \cdot 10^{-32}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + y.im \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \mathbf{elif}\;x.re \le -2.3750255402615044 \cdot 10^{-96}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\log \left(-x.re\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \mathbf{elif}\;x.re \le -2.1961117549784487 \cdot 10^{-162}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + y.im \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \mathbf{elif}\;x.re \le -4.108485305657773 \cdot 10^{-228}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\log \left(-x.re\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \mathbf{elif}\;x.re \le -1.7572363964432973 \cdot 10^{-251}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + y.im \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \mathbf{elif}\;x.re \le -7.681090256778739 \cdot 10^{-277}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\sqrt[3]{\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im} \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im} \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im}\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im} \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im}\right)\right)}\right) \cdot e^{\log \left(-x.re\right) \cdot y.re - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\log \left(-x.re\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus x.re

Bits error versus x.im

Bits error versus y.re

Bits error versus y.im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if x.re < -1.4704165008404814e+78

    1. Initial program 46.6

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    2. Taylor expanded around -inf 16.2

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \color{blue}{\left(-1 \cdot x.re\right)} \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    3. Simplified16.2

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \color{blue}{\left(-x.re\right)} \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    4. Taylor expanded around -inf 3.5

      \[\leadsto e^{\log \color{blue}{\left(-1 \cdot x.re\right)} \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(-x.re\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    5. Simplified3.5

      \[\leadsto e^{\log \color{blue}{\left(-x.re\right)} \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(-x.re\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    if -1.4704165008404814e+78 < x.re < -3.102365002680375e-32 or -2.3750255402615044e-96 < x.re < -2.1961117549784487e-162 or -4.108485305657773e-228 < x.re < -1.7572363964432973e-251

    1. Initial program 16.9

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    if -3.102365002680375e-32 < x.re < -2.3750255402615044e-96 or -2.1961117549784487e-162 < x.re < -4.108485305657773e-228 or -7.681090256778739e-277 < x.re

    1. Initial program 26.0

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    2. Taylor expanded around -inf 16.9

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \color{blue}{\left(-1 \cdot x.re\right)} \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    3. Simplified16.9

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \color{blue}{\left(-x.re\right)} \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    if -1.7572363964432973e-251 < x.re < -7.681090256778739e-277

    1. Initial program 32.1

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    2. Taylor expanded around -inf 23.1

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \color{blue}{\left(-1 \cdot x.re\right)} \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    3. Simplified23.1

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \color{blue}{\left(-x.re\right)} \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    4. Taylor expanded around -inf 41.7

      \[\leadsto e^{\log \color{blue}{\left(-1 \cdot x.re\right)} \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(-x.re\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    5. Simplified41.7

      \[\leadsto e^{\log \color{blue}{\left(-x.re\right)} \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(-x.re\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]
    6. Using strategy rm

    7. Applied add-cube-cbrt41.7

      \[\leadsto e^{\log \left(-x.re\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im}\right) \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im}} + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]
    8. Using strategy rm

    9. Applied add-cube-cbrt41.7

      \[\leadsto e^{\log \left(-x.re\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sin \left(\left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im}\right) \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im} + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\sin \left(\left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im}\right) \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im} + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\sin \left(\left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im}\right) \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im} + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification12.9

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.re \le -1.4704165008404814 \cdot 10^{+78}:\\ \;\;\;\;e^{\log \left(-x.re\right) \cdot y.re - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \sin \left(\log \left(-x.re\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\\ \mathbf{elif}\;x.re \le -3.102365002680375 \cdot 10^{-32}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + y.im \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \mathbf{elif}\;x.re \le -2.3750255402615044 \cdot 10^{-96}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\log \left(-x.re\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \mathbf{elif}\;x.re \le -2.1961117549784487 \cdot 10^{-162}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + y.im \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \mathbf{elif}\;x.re \le -4.108485305657773 \cdot 10^{-228}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\log \left(-x.re\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \mathbf{elif}\;x.re \le -1.7572363964432973 \cdot 10^{-251}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + y.im \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \mathbf{elif}\;x.re \le -7.681090256778739 \cdot 10^{-277}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\sqrt[3]{\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im} \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im} \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im}\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im} \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im} \cdot \sqrt[3]{\log \left(-x.re\right) \cdot y.im}\right)\right)}\right) \cdot e^{\log \left(-x.re\right) \cdot y.re - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\log \left(-x.re\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 6.9m)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018348 
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "powComplex, imaginary part"
  (* (exp (- (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im))) (sin (+ (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re)))))