Average Error: 37.3 → 10.5
Time: 11.5s
Precision: 64
Internal Precision: 3648
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re \le 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{(\left(\sqrt{re^2 + im^2}^*\right) \cdot 2.0 + \left(re \cdot 2.0\right))_*} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original37.3
Target32.5
Herbie10.5
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re) < 0.0

    1. Initial program 58.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+57.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/57.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div57.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified32.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if 0.0 < (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)

    1. Initial program 33.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification6.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{(\left(\sqrt{re^2 + im^2}^*\right) \cdot 2.0 + \left(re \cdot 2.0\right))_*}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification10.5

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re \le 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{(\left(\sqrt{re^2 + im^2}^*\right) \cdot 2.0 + \left(re \cdot 2.0\right))_*} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 11.5s)Debug logProfile

BaselineHerbieOracleSpan%
Regimes13.710.59.64.178.6%
herbie shell --seed 2018340 +o rules:numerics
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))