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Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if re < -2.5638438321825668e+66

   1. Initial program 43.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Initial simplification43.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]

   3. Taylor expanded around -inf 11.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{-4.0 \cdot re}}\]

   if -2.5638438321825668e+66 < re < -7.897775954678615e-171

   1. Initial program 15.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Initial simplification15.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-sqr-sqrt15.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right) \cdot 2.0}\]

   5. Applied sqrt-prod15.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right) \cdot 2.0}\]
   6. Using strategy rm

   7. Applied sqrt-prod15.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re} \cdot \sqrt{2.0}\right)}\]

   8. Simplified15.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\]

   if -7.897775954678615e-171 < re < 4.540384907300732e-288

   1. Initial program 28.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Initial simplification28.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-sqr-sqrt28.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right) \cdot 2.0}\]

   5. Applied sqrt-prod29.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right) \cdot 2.0}\]

   6. Taylor expanded around 0 32.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(im - re\right)} \cdot 2.0}\]

   if 4.540384907300732e-288 < re < 0.059249874868259805

   1. Initial program 34.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Initial simplification34.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-sqr-sqrt34.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right) \cdot 2.0}\]

   5. Applied sqrt-prod34.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right) \cdot 2.0}\]
   6. Using strategy rm

   7. Applied sqrt-prod34.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re} \cdot \sqrt{2.0}\right)}\]

   8. Simplified34.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\]
   9. Using strategy rm

   10. Applied flip--34.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\]

   11. Applied sqrt-div34.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\]

   12. Applied associate-*l/34.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re} \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   13. Simplified21.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
   14. Using strategy rm

   15. Applied associate-/l*21.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}{\sqrt{2.0}}}}\]

   if 0.059249874868259805 < re

   1. Initial program 55.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Initial simplification55.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-sqr-sqrt55.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right) \cdot 2.0}\]

   5. Applied sqrt-prod56.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right) \cdot 2.0}\]
   6. Using strategy rm

   7. Applied sqrt-prod56.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re} \cdot \sqrt{2.0}\right)}\]

   8. Simplified55.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\]
   9. Using strategy rm

   10. Applied flip--55.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\]

   11. Applied sqrt-div55.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\]

   12. Applied associate-*l/55.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re} \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   13. Simplified32.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

   14. Taylor expanded around inf 15.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\color{blue}{re} + re}}\]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification18.3

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -2.5638438321825668 \cdot 10^{+66}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{-4.0 \cdot re}\\ \mathbf{elif}\;re \le -7.897775954678615 \cdot 10^{-171}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re} \cdot \sqrt{2.0}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \le 4.540384907300732 \cdot 10^{-288}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 0.059249874868259805:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right|}{\frac{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}{\sqrt{2.0}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{re + re}} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 16.3s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018340 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))