Average Error: 37.3 → 18.4
Time: 15.8s
Precision: 64
Internal Precision: 3648
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -2.5638438321825668 \cdot 10^{+66}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{re \cdot -2}}\right) \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -2.0954721128029887 \cdot 10^{-187}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 4.540384907300732 \cdot 10^{-288}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 5.516607425614895 \cdot 10^{-204}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.804798285961907 \cdot 10^{-170}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 7.863149838194379 \cdot 10^{-159} \lor \neg \left(re \le 9.161360629353104 \cdot 10^{+28}\right):\\ \;\;\;\;\sqrt{re \cdot 4.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right) \cdot 2.0}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.3
Target32.5
Herbie18.4
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if re < -2.5638438321825668e+66

    1. Initial program 58.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification58.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied sqrt-prod58.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt{2.0}\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip-+58.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\]

    7. Applied sqrt-div58.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\]

    8. Simplified37.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\]

    9. Taylor expanded around -inf 12.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\]

    if -2.5638438321825668e+66 < re < -2.0954721128029887e-187

    1. Initial program 38.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification38.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied sqrt-prod38.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt{2.0}\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip-+38.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\]

    7. Applied sqrt-div38.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\]

    8. Applied associate-*l/38.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re} \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    9. Simplified16.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -2.0954721128029887e-187 < re < 4.540384907300732e-288 or 5.516607425614895e-204 < re < 2.804798285961907e-170

    1. Initial program 29.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification29.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]

    3. Taylor expanded around 0 34.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{2.0 \cdot re + 2.0 \cdot im}}\]

    4. Simplified34.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{2.0 \cdot \left(re + im\right)}}\]

    if 4.540384907300732e-288 < re < 5.516607425614895e-204 or 7.863149838194379e-159 < re < 9.161360629353104e+28

    1. Initial program 20.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-sqr-sqrt20.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)} \cdot 2.0}\]

    if 2.804798285961907e-170 < re < 7.863149838194379e-159 or 9.161360629353104e+28 < re

    1. Initial program 40.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification40.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]

    3. Taylor expanded around inf 14.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{4.0 \cdot re}}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification18.4

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -2.5638438321825668 \cdot 10^{+66}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{re \cdot -2}}\right) \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -2.0954721128029887 \cdot 10^{-187}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 4.540384907300732 \cdot 10^{-288}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 5.516607425614895 \cdot 10^{-204}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.804798285961907 \cdot 10^{-170}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 7.863149838194379 \cdot 10^{-159} \lor \neg \left(re \le 9.161360629353104 \cdot 10^{+28}\right):\\ \;\;\;\;\sqrt{re \cdot 4.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right) \cdot 2.0}\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 15.8s)Debug logProfile

BaselineHerbieOracleSpan%
Regimes37.418.47.529.963.5%
herbie shell --seed 2018340 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))