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Precision: 64
Internal Precision: 3392
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -2.2741743729877926 \cdot 10^{+149}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{-2 \cdot re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.3738483099566897 \cdot 10^{-201}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}\right)}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.708833587751392 \cdot 10^{+97}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.4
Target32.3
Herbie21.7
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -2.2741743729877926e+149

    1. Initial program 62.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification62.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip-+62.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot 2.0}\]

    5. Applied associate-*l/62.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Applied sqrt-div62.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    7. Simplified48.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    8. Taylor expanded around -inf 19.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\]

    if -2.2741743729877926e+149 < re < -1.3738483099566897e-201

    1. Initial program 41.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification41.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip-+41.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot 2.0}\]

    5. Applied associate-*l/41.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Applied sqrt-div41.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    7. Simplified28.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    8. Using strategy rm

    9. Applied add-cbrt-cube28.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\]

    if -1.3738483099566897e-201 < re < 3.708833587751392e+97

    1. Initial program 21.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification21.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-sqr-sqrt21.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right) \cdot 2.0}\]

    5. Applied sqrt-prod22.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right) \cdot 2.0}\]

    if 3.708833587751392e+97 < re

    1. Initial program 49.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification49.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]

    3. Taylor expanded around inf 10.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{re} + re\right) \cdot 2.0}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification21.7

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -2.2741743729877926 \cdot 10^{+149}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{-2 \cdot re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.3738483099566897 \cdot 10^{-201}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}\right)}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.708833587751392 \cdot 10^{+97}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0}\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 12.7s)Debug logProfile

BaselineHerbieOracleSpan%
Regimes40.021.79.830.360.5%
herbie shell --seed 2018295 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))