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Precision: 64
Internal Precision: 576
\[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.im \le -1.1259973219141482 \cdot 10^{-75} \lor \neg \left(y.im \le 8.790420369344199 \cdot 10^{-151}\right):\\ \;\;\;\;\frac{x.im \cdot y.re}{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re} - \frac{\frac{y.im}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} \cdot x.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x.im}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} \cdot \frac{y.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} - \frac{\frac{y.im \cdot x.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus x.re

Bits error versus x.im

Bits error versus y.re

Bits error versus y.im

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Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if y.im < -1.1259973219141482e-75 or 8.790420369344199e-151 < y.im

    1. Initial program 27.1

      \[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt27.1

      \[\leadsto \frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{\color{blue}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]

    4. Applied associate-/r*27.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied div-sub27.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{x.im \cdot y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

    7. Applied div-sub27.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{x.im \cdot y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \frac{\frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]

    8. Simplified27.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x.im \cdot y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \frac{\frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied *-un-lft-identity27.1

      \[\leadsto \frac{x.im \cdot y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \frac{\frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im\right)}}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

    11. Applied sqrt-prod27.1

      \[\leadsto \frac{x.im \cdot y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \frac{\frac{x.re \cdot y.im}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

    12. Applied times-frac24.9

      \[\leadsto \frac{x.im \cdot y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \frac{\color{blue}{\frac{x.re}{\sqrt{1}} \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

    13. Simplified24.9

      \[\leadsto \frac{x.im \cdot y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \frac{\color{blue}{x.re} \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

    if -1.1259973219141482e-75 < y.im < 8.790420369344199e-151

    1. Initial program 22.4

      \[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt22.4

      \[\leadsto \frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{\color{blue}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]

    4. Applied associate-/r*22.3

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied div-sub22.4

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{x.im \cdot y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

    7. Applied div-sub22.4

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{x.im \cdot y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \frac{\frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]

    8. Simplified22.5

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x.im \cdot y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \frac{\frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied add-sqr-sqrt22.5

      \[\leadsto \frac{x.im \cdot y.re}{\color{blue}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} - \frac{\frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

    11. Applied times-frac19.8

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} - \frac{\frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification23.5

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.im \le -1.1259973219141482 \cdot 10^{-75} \lor \neg \left(y.im \le 8.790420369344199 \cdot 10^{-151}\right):\\ \;\;\;\;\frac{x.im \cdot y.re}{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re} - \frac{\frac{y.im}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} \cdot x.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x.im}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} \cdot \frac{y.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} - \frac{\frac{y.im \cdot x.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 42.7s)Debug logProfile

BaselineHerbieOracleSpan%
Regimes24.323.522.12.137.3%
herbie shell --seed 2018295 
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "_divideComplex, imaginary part"
  (/ (- (* x.im y.re) (* x.re y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))))