Average Error: 37.9 → 17.6
Time: 16.3s
Precision: 64
Internal Precision: 3392
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.4460857611210428 \cdot 10^{+93}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{re \cdot -2}}\right) \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 5.637145328923297 \cdot 10^{-305}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\frac{\sqrt{\left|im\right|}}{\sqrt{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}{\left|im\right|}}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.1182602429050843 \cdot 10^{+127}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.9
Target33.4
Herbie17.6
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -1.4460857611210428e+93

    1. Initial program 59.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied sqrt-prod59.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip-+59.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    6. Applied sqrt-div59.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    7. Simplified41.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

    8. Taylor expanded around -inf 11.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\right)\]

    if -1.4460857611210428e+93 < re < 5.637145328923297e-305

    1. Initial program 37.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied sqrt-prod37.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip-+37.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    6. Applied sqrt-div37.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    7. Simplified21.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]
    8. Using strategy rm

    9. Applied add-sqr-sqrt21.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left|im\right|} \cdot \sqrt{\left|im\right|}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

    10. Applied associate-/l*21.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\left|im\right|}}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\sqrt{\left|im\right|}}}}\right)\]
    11. Using strategy rm

    12. Applied sqrt-undiv22.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\sqrt{\left|im\right|}}{\color{blue}{\sqrt{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}{\left|im\right|}}}}\right)\]

    if 5.637145328923297e-305 < re < 2.1182602429050843e+127

    1. Initial program 20.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 2.1182602429050843e+127 < re

    1. Initial program 54.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 9.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification17.6

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.4460857611210428 \cdot 10^{+93}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{re \cdot -2}}\right) \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 5.637145328923297 \cdot 10^{-305}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\frac{\sqrt{\left|im\right|}}{\sqrt{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}{\left|im\right|}}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.1182602429050843 \cdot 10^{+127}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0}\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 16.3s)Debug logProfile

BaselineHerbieOracleSpan%
Regimes37.917.68.129.768.1%
herbie shell --seed 2018285 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))