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Precision: 64
Internal Precision: 128
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.4460857611210428 \cdot 10^{+93}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{-2 \cdot re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 5.637145328923297 \cdot 10^{-305}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|}}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.1182602429050843 \cdot 10^{+127}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.9
Target33.4
Herbie17.6
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -1.4460857611210428e+93

    1. Initial program 59.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification59.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied sqrt-prod59.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt{2.0}\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip-+59.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\]

    7. Applied sqrt-div59.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\]

    8. Applied associate-*l/59.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re} \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    9. Simplified41.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    10. Taylor expanded around -inf 10.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\]

    if -1.4460857611210428e+93 < re < 5.637145328923297e-305

    1. Initial program 37.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification37.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied sqrt-prod37.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt{2.0}\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip-+37.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\]

    7. Applied sqrt-div37.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\]

    8. Applied associate-*l/37.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re} \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    9. Simplified21.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    10. Using strategy rm

    11. Applied clear-num22.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}}}\]
    12. Using strategy rm

    13. Applied add-sqr-sqrt22.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}}}\right)}\]

    if 5.637145328923297e-305 < re < 2.1182602429050843e+127

    1. Initial program 20.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]

    if 2.1182602429050843e+127 < re

    1. Initial program 54.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification54.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]

    3. Taylor expanded around inf 9.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{re} + re\right) \cdot 2.0}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification17.6

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.4460857611210428 \cdot 10^{+93}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{-2 \cdot re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 5.637145328923297 \cdot 10^{-305}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|}}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.1182602429050843 \cdot 10^{+127}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 23.2s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018285 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))