Average Error: 37.3 → 26.6
Time: 26.7s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -8.413976808045007 \cdot 10^{+42}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.0487231314485502 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(-2.0\right) \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le -3.4081502191743144 \cdot 10^{-116}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right) \cdot \left(\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right) \cdot \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)\right)} \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.766838948812995 \cdot 10^{-147}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(-2.0\right) \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.7706768221310417 \cdot 10^{-80}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.4560974996417245 \cdot 10^{+83}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{im \cdot \left(2.0 \cdot im\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{im \cdot \left(2.0 \cdot im\right)}}{\sqrt{re + re}} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 6 regimes

  2. if re < -8.413976808045007e+42

    1. Initial program 41.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 12.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    if -8.413976808045007e+42 < re < -1.0487231314485502e-16 or -3.4081502191743144e-116 < re < 1.766838948812995e-147

    1. Initial program 25.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 25.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{im}^{2} + {re}^{2}}} - re\right)}\]

    3. Taylor expanded around -inf 35.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(-\left(re + im\right)\right)}}\]

    if -1.0487231314485502e-16 < re < -3.4081502191743144e-116

    1. Initial program 14.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cube-cbrt15.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod14.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    5. Simplified14.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]
    6. Using strategy rm

    7. Applied add-cbrt-cube22.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right) \cdot \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)\right) \cdot \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}}}\]

    if 1.766838948812995e-147 < re < 2.7706768221310417e-80

    1. Initial program 36.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 36.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{im}^{2} + {re}^{2}}} - re\right)}\]

    3. Taylor expanded around inf 40.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(im - re\right)}}\]

    if 2.7706768221310417e-80 < re < 1.4560974996417245e+83

    1. Initial program 45.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--45.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/45.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div45.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified29.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sqrt-undiv29.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    if 1.4560974996417245e+83 < re

    1. Initial program 59.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--59.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/59.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div59.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified42.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    7. Taylor expanded around inf 22.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}{\sqrt{\color{blue}{re} + re}}\]
  3. Recombined 6 regimes into one program.

  4. Final simplification26.6

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -8.413976808045007 \cdot 10^{+42}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.0487231314485502 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(-2.0\right) \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le -3.4081502191743144 \cdot 10^{-116}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right) \cdot \left(\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right) \cdot \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)\right)} \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.766838948812995 \cdot 10^{-147}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(-2.0\right) \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.7706768221310417 \cdot 10^{-80}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.4560974996417245 \cdot 10^{+83}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{im \cdot \left(2.0 \cdot im\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{im \cdot \left(2.0 \cdot im\right)}}{\sqrt{re + re}} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 26.7s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018277 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))