Average Error: 37.3 → 26.5
Time: 25.1s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -5.646014360385501 \cdot 10^{+34}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.0322423643333847 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\left(-im\right) - re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.2570599832620235 \cdot 10^{-116}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \sqrt[3]{\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right) \cdot \left(\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right) \cdot \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.9566833631166368 \cdot 10^{-147}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\left(-im\right) - re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.7989902790669237 \cdot 10^{-80}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.0482039862590654 \cdot 10^{+83}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}{\sqrt{re + re}} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 6 regimes

  2. if re < -5.646014360385501e+34

    1. Initial program 41.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification41.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]

    3. Taylor expanded around -inf 13.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)} \cdot 2.0}\]

    if -5.646014360385501e+34 < re < -1.0322423643333847e-16 or -1.2570599832620235e-116 < re < 1.9566833631166368e-147

    1. Initial program 25.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification25.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]

    3. Taylor expanded around inf 25.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{{im}^{2} + {re}^{2}}} - re\right) \cdot 2.0}\]

    4. Taylor expanded around -inf 34.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{-1 \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]

    5. Simplified34.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{\left(-im\right)} - re\right) \cdot 2.0}\]

    if -1.0322423643333847e-16 < re < -1.2570599832620235e-116

    1. Initial program 14.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification14.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-cube-cbrt15.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right) \cdot 2.0}\]

    5. Applied sqrt-prod15.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right) \cdot 2.0}\]

    6. Simplified15.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right) \cdot 2.0}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied add-cbrt-cube22.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right) \cdot \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)\right) \cdot \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}} \cdot 2.0}\]

    if 1.9566833631166368e-147 < re < 2.7989902790669237e-80

    1. Initial program 36.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification36.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]

    3. Taylor expanded around inf 36.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{{im}^{2} + {re}^{2}}} - re\right) \cdot 2.0}\]

    4. Taylor expanded around inf 40.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(im - re\right)} \cdot 2.0}\]

    if 2.7989902790669237e-80 < re < 2.0482039862590654e+83

    1. Initial program 45.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification45.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip--45.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot 2.0}\]

    5. Applied associate-*l/45.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Applied sqrt-div45.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    7. Simplified29.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
    8. Using strategy rm

    9. Applied sqrt-undiv29.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    if 2.0482039862590654e+83 < re

    1. Initial program 59.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification59.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip--59.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot 2.0}\]

    5. Applied associate-*l/59.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Applied sqrt-div59.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    7. Simplified42.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    8. Taylor expanded around inf 22.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{\color{blue}{re} + re}}\]
  3. Recombined 6 regimes into one program.

  4. Final simplification26.5

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -5.646014360385501 \cdot 10^{+34}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.0322423643333847 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\left(-im\right) - re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.2570599832620235 \cdot 10^{-116}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \sqrt[3]{\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right) \cdot \left(\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right) \cdot \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.9566833631166368 \cdot 10^{-147}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\left(-im\right) - re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.7989902790669237 \cdot 10^{-80}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.0482039862590654 \cdot 10^{+83}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}{\sqrt{re + re}} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 25.1s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018277 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))