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Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < -9.210858088433613e+17 or 3.362802338895812e+93 < b

   1. Initial program 6.7

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied sub-neg6.7

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \color{blue}{\left(c \cdot z + \left(-i \cdot a\right)\right)}\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

   4. Applied distribute-rgt-in6.7

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \color{blue}{\left(\left(c \cdot z\right) \cdot b + \left(-i \cdot a\right) \cdot b\right)}\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied add-cube-cbrt6.9

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)} \cdot \sqrt[3]{x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)}} - \left(\left(c \cdot z\right) \cdot b + \left(-i \cdot a\right) \cdot b\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

   if -9.210858088433613e+17 < b < 3.362802338895812e+93

   1. Initial program 14.3

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied sub-neg14.3

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \color{blue}{\left(c \cdot z + \left(-i \cdot a\right)\right)}\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

   4. Applied distribute-rgt-in14.3

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \color{blue}{\left(\left(c \cdot z\right) \cdot b + \left(-i \cdot a\right) \cdot b\right)}\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

   5. Taylor expanded around -inf 12.3

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(\color{blue}{z \cdot \left(b \cdot c\right)} + \left(-i \cdot a\right) \cdot b\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

   6. Taylor expanded around inf 10.2

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(z \cdot \left(b \cdot c\right) + \color{blue}{-1 \cdot \left(a \cdot \left(i \cdot b\right)\right)}\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

   7. Simplified10.2

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(z \cdot \left(b \cdot c\right) + \color{blue}{\left(i \cdot b\right) \cdot \left(-a\right)}\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification9.2

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le -9.210858088433613 \cdot 10^{+17} \lor \neg \left(b \le 3.362802338895812 \cdot 10^{+93}\right):\\ \;\;\;\;j \cdot \left(c \cdot t - y \cdot i\right) + \left(\left(\sqrt[3]{\left(y \cdot z - t \cdot a\right) \cdot x} \cdot \sqrt[3]{\left(y \cdot z - t \cdot a\right) \cdot x}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(y \cdot z - t \cdot a\right) \cdot x} - \left(b \cdot \left(c \cdot z\right) + \left(-b\right) \cdot \left(i \cdot a\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(y \cdot z - t \cdot a\right) \cdot x - \left(z \cdot \left(c \cdot b\right) + \left(-a\right) \cdot \left(b \cdot i\right)\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - y \cdot i\right)\\ \end{array}\]

Runtime

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herbie shell --seed 2018274 
(FPCore (x y z t a b c i j)
  :name "Linear.Matrix:det33 from linear-1.19.1.3"
  (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* i a)))) (* j (- (* c t) (* i y)))))