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Time: 13.1s
Precision: 64
Internal Precision: 3648
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.378868508859925 \cdot 10^{+89}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{-4.0 \cdot re}\\ \mathbf{elif}\;re \le -5.097826665525113 \cdot 10^{-301}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{e^{\log \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} - re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.1993907534837704 \cdot 10^{-236}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.7265140738818487 \cdot 10^{-155}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 7.115302944025029 \cdot 10^{-30}:\\ \;\;\;\;\left(-0.5\right) \cdot \frac{im \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.203980241305538 \cdot 10^{+35}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0 \cdot im} \cdot \sqrt{im}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{re + re}} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 7 regimes

  2. if re < -1.378868508859925e+89

    1. Initial program 47.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification47.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]

    3. Taylor expanded around -inf 9.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{-4.0 \cdot re}}\]

    if -1.378868508859925e+89 < re < -5.097826665525113e-301

    1. Initial program 19.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification19.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-sqr-sqrt20.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right) \cdot 2.0}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-exp-log21.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}}} - re\right) \cdot 2.0}\]

    if -5.097826665525113e-301 < re < 2.1993907534837704e-236

    1. Initial program 30.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification30.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-sqr-sqrt30.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right) \cdot 2.0}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-exp-log31.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}}} - re\right) \cdot 2.0}\]

    7. Taylor expanded around 0 33.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(im - re\right)} \cdot 2.0}\]

    if 2.1993907534837704e-236 < re < 3.7265140738818487e-155

    1. Initial program 30.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification30.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip--30.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot 2.0}\]

    5. Applied associate-*l/30.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified30.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\frac{\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    if 3.7265140738818487e-155 < re < 7.115302944025029e-30

    1. Initial program 37.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification37.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip--37.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot 2.0}\]

    5. Applied associate-*l/37.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Applied sqrt-div37.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    7. Simplified31.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    8. Taylor expanded around -inf 42.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    9. Simplified42.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0} \cdot \left(-im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    if 7.115302944025029e-30 < re < 2.203980241305538e+35

    1. Initial program 43.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification43.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip--43.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot 2.0}\]

    5. Applied associate-*l/43.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Applied sqrt-div43.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    7. Simplified28.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
    8. Using strategy rm

    9. Applied sqrt-prod38.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot 2.0} \cdot \sqrt{im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    if 2.203980241305538e+35 < re

    1. Initial program 56.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification56.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip--56.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot 2.0}\]

    5. Applied associate-*l/56.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Applied sqrt-div56.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    7. Simplified39.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    8. Taylor expanded around inf 25.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{\color{blue}{re} + re}}\]
  3. Recombined 7 regimes into one program.

  4. Final simplification25.0

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.378868508859925 \cdot 10^{+89}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{-4.0 \cdot re}\\ \mathbf{elif}\;re \le -5.097826665525113 \cdot 10^{-301}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{e^{\log \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} - re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.1993907534837704 \cdot 10^{-236}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.7265140738818487 \cdot 10^{-155}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 7.115302944025029 \cdot 10^{-30}:\\ \;\;\;\;\left(-0.5\right) \cdot \frac{im \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.203980241305538 \cdot 10^{+35}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0 \cdot im} \cdot \sqrt{im}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{re + re}} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 13.1s)Debug logProfile

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(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))