Average Error: 37.8 → 12.3
Time: 19.0s
Precision: 64
Internal Precision: 3136
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.9476879655173027 \cdot 10^{+149} \lor \neg \left(re \le -1.4573097726286142 \cdot 10^{+35}\right):\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{(\left(\sqrt{re^2 + im^2}^*\right) \cdot 2.0 + \left(re \cdot 2.0\right))_*}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{im \cdot \left(2.0 \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original37.8
Target33.2
Herbie12.3
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if re < -1.9476879655173027e+149 or -1.4573097726286142e+35 < re

    1. Initial program 36.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification10.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{(\left(\sqrt{re^2 + im^2}^*\right) \cdot 2.0 + \left(re \cdot 2.0\right))_*}\]

    if -1.9476879655173027e+149 < re < -1.4573097726286142e+35

    1. Initial program 50.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+50.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/50.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div50.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified27.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification12.3

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.9476879655173027 \cdot 10^{+149} \lor \neg \left(re \le -1.4573097726286142 \cdot 10^{+35}\right):\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{(\left(\sqrt{re^2 + im^2}^*\right) \cdot 2.0 + \left(re \cdot 2.0\right))_*}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{im \cdot \left(2.0 \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 19.0s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018257 +o rules:numerics
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))