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Precision: 64
Internal Precision: 3392
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -7.386853430109971 \cdot 10^{+96}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{-2 \cdot re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -2.51586768077288 \cdot 10^{-65}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}} \cdot \left|\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.1297219382272355 \cdot 10^{+18}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{re \cdot 4.0} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.5
Target32.6
Herbie22.7
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -7.386853430109971e+96

    1. Initial program 58.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+58.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/59.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div59.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified42.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    7. Taylor expanded around -inf 20.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\]

    if -7.386853430109971e+96 < re < -2.51586768077288e-65

    1. Initial program 46.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+46.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/46.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div46.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified28.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied add-sqr-sqrt28.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\]

    9. Applied sqrt-prod28.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\]
    10. Using strategy rm

    11. Applied add-cube-cbrt28.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}}\]

    12. Applied sqrt-prod28.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}}\]

    13. Simplified28.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\left|\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\]
    14. Using strategy rm

    15. Applied add-sqr-sqrt28.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\left|\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\]

    if -2.51586768077288e-65 < re < 1.1297219382272355e+18

    1. Initial program 26.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 1.1297219382272355e+18 < re

    1. Initial program 39.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 14.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{4.0 \cdot re}}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification22.7

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -7.386853430109971 \cdot 10^{+96}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{-2 \cdot re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -2.51586768077288 \cdot 10^{-65}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}} \cdot \left|\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.1297219382272355 \cdot 10^{+18}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{re \cdot 4.0} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 18.4s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018255 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))