Average Error: 37.5 → 23.0
Time: 17.8s
Precision: 64
Internal Precision: 2880
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.0709622615357468 \cdot 10^{+113}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{-2 \cdot re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.004492204337162 \cdot 10^{-272}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\frac{\sqrt{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.1297219382272355 \cdot 10^{+18}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + e^{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.5
Target32.6
Herbie23.0
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -1.0709622615357468e+113

    1. Initial program 59.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+59.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/59.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div59.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified43.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    7. Taylor expanded around -inf 19.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\]

    if -1.0709622615357468e+113 < re < 2.004492204337162e-272

    1. Initial program 37.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+37.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/37.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div37.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified29.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied add-sqr-sqrt29.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\]

    9. Applied add-sqr-sqrt29.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    10. Applied times-frac29.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)}\]

    if 2.004492204337162e-272 < re < 1.1297219382272355e+18

    1. Initial program 21.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-exp-log23.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}} + re\right)}\]

    if 1.1297219382272355e+18 < re

    1. Initial program 39.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 14.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification23.0

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.0709622615357468 \cdot 10^{+113}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{-2 \cdot re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.004492204337162 \cdot 10^{-272}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\frac{\sqrt{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.1297219382272355 \cdot 10^{+18}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + e^{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0}\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 17.8s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018255 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))