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Precision: 64
Internal Precision: 3392
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -5.0125900969051666 \cdot 10^{+64}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.5831382471060456 \cdot 10^{-52}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 4.836387257475955 \cdot 10^{-07}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left(-im\right) \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}\right)}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 7.948922449534656 \cdot 10^{+16}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.014100282177943 \cdot 10^{+97}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot im}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{re + re}}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if re < -5.0125900969051666e+64

    1. Initial program 43.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 12.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    if -5.0125900969051666e+64 < re < 2.5831382471060456e-52 or 4.836387257475955e-07 < re < 7.948922449534656e+16

    1. Initial program 25.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    if 2.5831382471060456e-52 < re < 4.836387257475955e-07

    1. Initial program 43.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--43.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/43.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div43.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified29.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied add-cube-cbrt29.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}}\]

    9. Taylor expanded around -inf 38.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot im\right)}}{\sqrt{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    10. Simplified38.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0} \cdot \left(-im\right)}}{\sqrt{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    if 7.948922449534656e+16 < re < 2.014100282177943e+97

    1. Initial program 48.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--48.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/48.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div48.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified26.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    7. Taylor expanded around inf 37.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0} \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    if 2.014100282177943e+97 < re

    1. Initial program 59.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--59.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/59.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div59.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified41.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    7. Taylor expanded around inf 20.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}{\sqrt{\color{blue}{re} + re}}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification23.2

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -5.0125900969051666 \cdot 10^{+64}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.5831382471060456 \cdot 10^{-52}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 4.836387257475955 \cdot 10^{-07}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left(-im\right) \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}\right)}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 7.948922449534656 \cdot 10^{+16}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.014100282177943 \cdot 10^{+97}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot im}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{re + re}}\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 17.2s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018252 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))