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Precision: 64
Internal Precision: 3648
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -3.8818478146817356 \cdot 10^{+90}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{-4.0 \cdot re}\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.868826114470887 \cdot 10^{-305}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re} \cdot 2.0\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if re < -3.8818478146817356e+90

    1. Initial program 47.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification47.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]

    3. Taylor expanded around -inf 10.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{-4.0 \cdot re}}\]

    if -3.8818478146817356e+90 < re < -1.868826114470887e-305

    1. Initial program 20.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification20.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-cube-cbrt20.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)} \cdot 2.0}\]

    5. Applied associate-*l*20.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re} \cdot 2.0\right)}}\]

    if -1.868826114470887e-305 < re

    1. Initial program 43.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification43.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip--43.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot 2.0}\]

    5. Applied associate-*l/43.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Applied sqrt-div43.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    7. Simplified33.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification25.5

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -3.8818478146817356 \cdot 10^{+90}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{-4.0 \cdot re}\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.868826114470887 \cdot 10^{-305}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re} \cdot 2.0\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 18.1s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018250 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))