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Time: 18.4s
Precision: 64
Internal Precision: 3392
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -2.289183432380987 \cdot 10^{+87}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{-2 \cdot re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -2.1296392089026647 \cdot 10^{-129}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0} \cdot im}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 5.8102292814970236 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{4.0 \cdot re}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.3
Target32.4
Herbie23.7
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -2.289183432380987e+87

    1. Initial program 59.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification59.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip-+59.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot 2.0}\]

    5. Applied associate-*l/59.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Applied sqrt-div59.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    7. Simplified42.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    8. Taylor expanded around -inf 22.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\]

    if -2.289183432380987e+87 < re < -2.1296392089026647e-129

    1. Initial program 42.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification42.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip-+42.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot 2.0}\]

    5. Applied associate-*l/42.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Applied sqrt-div42.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    7. Simplified29.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    8. Taylor expanded around 0 38.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0} \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -2.1296392089026647e-129 < re < 5.8102292814970236e+69

    1. Initial program 23.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification23.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip-+34.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot 2.0}\]

    5. Applied associate-*l/34.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Applied sqrt-div34.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    7. Simplified34.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    8. Using strategy rm

    9. Applied sqrt-undiv34.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
    10. Using strategy rm

    11. Applied flip--34.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\frac{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}}\]

    12. Applied associate-/r/34.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re} \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}}\]

    13. Applied sqrt-prod34.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\]

    14. Simplified23.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot 1}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)\]

    if 5.8102292814970236e+69 < re

    1. Initial program 44.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification44.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip-+59.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot 2.0}\]

    5. Applied associate-*l/59.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Applied sqrt-div59.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    7. Simplified60.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    8. Using strategy rm

    9. Applied sqrt-undiv60.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    10. Taylor expanded around 0 11.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{4.0 \cdot re}}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification23.7

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -2.289183432380987 \cdot 10^{+87}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{-2 \cdot re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -2.1296392089026647 \cdot 10^{-129}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0} \cdot im}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 5.8102292814970236 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{4.0 \cdot re}\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 18.4s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018250 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))