Average Error: 37.2 → 22.7
Time: 25.9s
Precision: 64
Internal Precision: 3648
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -7.988457374194852 \cdot 10^{+106}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{-4.0 \cdot re}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.3344679117024874 \cdot 10^{-197}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.0074190434759884 \cdot 10^{-90}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.6460662127809524 \cdot 10^{-06}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 22.116418242103453:\\ \;\;\;\;\frac{im \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}} \cdot \left(-0.5\right)\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.482684205109294 \cdot 10^{+117}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} + re}}} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{re + re}} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 7 regimes

  2. if re < -7.988457374194852e+106

    1. Initial program 49.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification49.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]

    3. Taylor expanded around -inf 10.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{-4.0 \cdot re}}\]

    if -7.988457374194852e+106 < re < 1.3344679117024874e-197

    1. Initial program 22.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification22.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]

    if 1.3344679117024874e-197 < re < 1.0074190434759884e-90

    1. Initial program 30.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification30.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]

    3. Taylor expanded around 0 37.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{2.0 \cdot im - 2.0 \cdot re}}\]

    4. Simplified37.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{2.0 \cdot \left(im - re\right)}}\]

    if 1.0074190434759884e-90 < re < 1.6460662127809524e-06

    1. Initial program 41.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification41.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip--41.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot 2.0}\]

    5. Applied associate-*l/41.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified31.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\frac{\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    if 1.6460662127809524e-06 < re < 22.116418242103453

    1. Initial program 51.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification51.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip--51.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot 2.0}\]

    5. Applied associate-*l/51.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Applied sqrt-div51.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    7. Simplified37.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    8. Taylor expanded around -inf 35.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    9. Simplified35.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0} \cdot \left(-im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    if 22.116418242103453 < re < 3.482684205109294e+117

    1. Initial program 48.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification48.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip--48.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot 2.0}\]

    5. Applied associate-*l/48.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Applied sqrt-div48.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    7. Simplified27.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
    8. Using strategy rm

    9. Applied add-sqr-sqrt27.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}}\]

    10. Applied sqrt-prod27.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}}\]
    11. Using strategy rm

    12. Applied add-cube-cbrt27.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re}}}\]

    if 3.482684205109294e+117 < re

    1. Initial program 60.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification60.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip--60.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot 2.0}\]

    5. Applied associate-*l/60.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Applied sqrt-div60.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    7. Simplified45.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    8. Taylor expanded around inf 21.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{\color{blue}{re} + re}}\]
  3. Recombined 7 regimes into one program.

  4. Final simplification22.7

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -7.988457374194852 \cdot 10^{+106}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{-4.0 \cdot re}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.3344679117024874 \cdot 10^{-197}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.0074190434759884 \cdot 10^{-90}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.6460662127809524 \cdot 10^{-06}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 22.116418242103453:\\ \;\;\;\;\frac{im \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}} \cdot \left(-0.5\right)\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.482684205109294 \cdot 10^{+117}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} + re}}} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{re + re}} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 25.9s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018242 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))