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Internal Precision: 3392
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -3.6871908419745517 \cdot 10^{+118}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{-4.0 \cdot re}\\ \mathbf{elif}\;re \le -4.871943264327042 \cdot 10^{-186}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re} \cdot \sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot {\left(\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right)}^{\frac{1}{3}}}} - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.026564794600837 \cdot 10^{-272}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -3.6871908419745517e+118

    1. Initial program 52.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification52.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]

    3. Taylor expanded around -inf 10.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{-4.0 \cdot re}}\]

    if -3.6871908419745517e+118 < re < -4.871943264327042e-186

    1. Initial program 16.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification16.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-sqr-sqrt16.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right) \cdot 2.0}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cube-cbrt16.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right) \cdot 2.0}\]

    7. Applied sqrt-prod16.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right) \cdot 2.0}\]

    8. Simplified16.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right) \cdot 2.0}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied pow1/318.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\color{blue}{{\left(re \cdot re + im \cdot im\right)}^{\frac{1}{3}}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right) \cdot 2.0}\]
    11. Using strategy rm

    12. Applied add-cube-cbrt18.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{{\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right)}}^{\frac{1}{3}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right) \cdot 2.0}\]

    13. Applied unpow-prod-down18.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\frac{1}{3}} \cdot {\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\frac{1}{3}}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right) \cdot 2.0}\]

    14. Simplified17.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot {\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\frac{1}{3}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right) \cdot 2.0}\]

    if -4.871943264327042e-186 < re < 3.026564794600837e-272

    1. Initial program 29.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification29.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]

    3. Taylor expanded around 0 30.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{2.0 \cdot im - 2.0 \cdot re}}\]

    4. Simplified30.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{2.0 \cdot \left(im - re\right)}}\]

    if 3.026564794600837e-272 < re

    1. Initial program 46.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification46.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip--46.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot 2.0}\]

    5. Applied associate-*l/46.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Applied sqrt-div46.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    7. Simplified34.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification25.9

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -3.6871908419745517 \cdot 10^{+118}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{-4.0 \cdot re}\\ \mathbf{elif}\;re \le -4.871943264327042 \cdot 10^{-186}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re} \cdot \sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot {\left(\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right)}^{\frac{1}{3}}}} - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.026564794600837 \cdot 10^{-272}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 22.9s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018234 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))