Average Error: 37.8 → 22.1
Time: 16.7s
Precision: 64
Internal Precision: 3648
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -9.558442402156264 \cdot 10^{+52}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(re - im\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le -4.0380249950215246 \cdot 10^{-174}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(-im\right) \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le 2.268819172885258 \cdot 10^{-173}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le 5.531526260072061 \cdot 10^{+106}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{im} \cdot \sqrt{im \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.8
Target32.8
Herbie22.1
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if im < -9.558442402156264e+52

    1. Initial program 45.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification45.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied +-commutative45.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{im \cdot im + re \cdot re}} + re\right) \cdot 2.0}\]

    5. Taylor expanded around -inf 11.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(re - im\right)} \cdot 2.0}\]

    if -9.558442402156264e+52 < im < -4.0380249950215246e-174

    1. Initial program 27.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification27.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied +-commutative27.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{im \cdot im + re \cdot re}} + re\right) \cdot 2.0}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip-+38.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} \cdot \sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re \cdot re}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}} \cdot 2.0}\]

    7. Applied associate-*l/38.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} \cdot \sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\]

    8. Applied sqrt-div38.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} \cdot \sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\]

    9. Simplified28.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\]

    10. Taylor expanded around -inf 27.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\]

    11. Simplified27.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0} \cdot \left(-im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\]

    if -4.0380249950215246e-174 < im < 2.268819172885258e-173

    1. Initial program 43.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification43.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]

    3. Taylor expanded around inf 34.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{re} + re\right) \cdot 2.0}\]

    if 2.268819172885258e-173 < im < 5.531526260072061e+106

    1. Initial program 25.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification25.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied +-commutative25.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{im \cdot im + re \cdot re}} + re\right) \cdot 2.0}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip-+35.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} \cdot \sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re \cdot re}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}} \cdot 2.0}\]

    7. Applied associate-*l/35.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} \cdot \sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\]

    8. Applied sqrt-div35.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} \cdot \sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\]

    9. Simplified26.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\]
    10. Using strategy rm

    11. Applied sqrt-prod24.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im} \cdot \sqrt{im \cdot 2.0}}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\]

    if 5.531526260072061e+106 < im

    1. Initial program 50.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification50.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied +-commutative50.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{im \cdot im + re \cdot re}} + re\right) \cdot 2.0}\]

    5. Taylor expanded around inf 8.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(re + im\right)} \cdot 2.0}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification22.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -9.558442402156264 \cdot 10^{+52}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(re - im\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le -4.0380249950215246 \cdot 10^{-174}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(-im\right) \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le 2.268819172885258 \cdot 10^{-173}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le 5.531526260072061 \cdot 10^{+106}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{im} \cdot \sqrt{im \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 16.7s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018234 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))