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Precision: 64
Internal Precision: 3648
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(im - re\right) \cdot 2.0 \le -4.88697970712414 \cdot 10^{+162}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{im \cdot \left(2.0 \cdot im\right)} \cdot 0.5}{\sqrt{re + re}}\\ \mathbf{elif}\;\left(im - re\right) \cdot 2.0 \le -9.729606377274611 \cdot 10^{-221}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{im \cdot \left(2.0 \cdot im\right)} \cdot 0.5}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\\ \mathbf{elif}\;\left(im - re\right) \cdot 2.0 \le 2.165432228559356 \cdot 10^{+158}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;\left(im - re\right) \cdot 2.0 \le 1.0142598911658721 \cdot 10^{+206}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\left(im - re\right) \cdot 2.0 \le 7.440909926970905 \cdot 10^{+245}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;\left(im - re\right) \cdot 2.0 \le 2.0104881096821083 \cdot 10^{+282}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\left(im - re\right) \cdot 2.0 \le 5.425637498985025 \cdot 10^{+303}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if (* 2.0 (- im re)) < -4.88697970712414e+162

    1. Initial program 61.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied *-commutative61.9

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \cdot 0.5}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip--61.9

      \[\leadsto \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}} \cdot 0.5\]

    6. Applied associate-*r/61.9

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}} \cdot 0.5\]

    7. Applied sqrt-div61.9

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}} \cdot 0.5\]

    8. Applied associate-*l/61.9

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)} \cdot 0.5}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    9. Simplified54.9

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)} \cdot 0.5}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    10. Taylor expanded around inf 38.3

      \[\leadsto \frac{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)} \cdot 0.5}{\sqrt{\color{blue}{re} + re}}\]

    if -4.88697970712414e+162 < (* 2.0 (- im re)) < -9.729606377274611e-221

    1. Initial program 32.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied *-commutative32.2

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \cdot 0.5}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip--32.2

      \[\leadsto \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}} \cdot 0.5\]

    6. Applied associate-*r/32.2

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}} \cdot 0.5\]

    7. Applied sqrt-div32.4

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}} \cdot 0.5\]

    8. Applied associate-*l/32.4

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)} \cdot 0.5}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    9. Simplified18.3

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)} \cdot 0.5}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
    10. Using strategy rm

    11. Applied add-sqr-sqrt18.5

      \[\leadsto \frac{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)} \cdot 0.5}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}}\]

    if -9.729606377274611e-221 < (* 2.0 (- im re)) < 2.165432228559356e+158

    1. Initial program 8.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied *-commutative8.4

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \cdot 0.5}\]

    if 2.165432228559356e+158 < (* 2.0 (- im re)) < 1.0142598911658721e+206 or 7.440909926970905e+245 < (* 2.0 (- im re)) < 2.0104881096821083e+282 or 5.425637498985025e+303 < (* 2.0 (- im re))

    1. Initial program 61.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied *-commutative61.3

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \cdot 0.5}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied add-sqr-sqrt61.3

      \[\leadsto \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)} \cdot 0.5\]

    6. Taylor expanded around 0 27.4

      \[\leadsto \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(im - re\right)}} \cdot 0.5\]

    if 1.0142598911658721e+206 < (* 2.0 (- im re)) < 7.440909926970905e+245 or 2.0104881096821083e+282 < (* 2.0 (- im re)) < 5.425637498985025e+303

    1. Initial program 61.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 29.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification21.8

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(im - re\right) \cdot 2.0 \le -4.88697970712414 \cdot 10^{+162}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{im \cdot \left(2.0 \cdot im\right)} \cdot 0.5}{\sqrt{re + re}}\\ \mathbf{elif}\;\left(im - re\right) \cdot 2.0 \le -9.729606377274611 \cdot 10^{-221}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{im \cdot \left(2.0 \cdot im\right)} \cdot 0.5}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\\ \mathbf{elif}\;\left(im - re\right) \cdot 2.0 \le 2.165432228559356 \cdot 10^{+158}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;\left(im - re\right) \cdot 2.0 \le 1.0142598911658721 \cdot 10^{+206}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\left(im - re\right) \cdot 2.0 \le 7.440909926970905 \cdot 10^{+245}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;\left(im - re\right) \cdot 2.0 \le 2.0104881096821083 \cdot 10^{+282}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\left(im - re\right) \cdot 2.0 \le 5.425637498985025 \cdot 10^{+303}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 40.3s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018225 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))