Average Error: 37.3 → 22.7
Time: 16.7s
Precision: 64
Internal Precision: 3648
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.3589375087686996 \cdot 10^{+114}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\left(-re\right) - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -5.324054775563344 \cdot 10^{-120}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.6726008613769527 \cdot 10^{-306}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 9.129554876024421 \cdot 10^{+87}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}\right)}{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) + re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{re + re}}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if re < -1.3589375087686996e+114

    1. Initial program 51.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 10.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{-1 \cdot re} - re\right)}\]

    3. Simplified10.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\left(-re\right)} - re\right)}\]

    if -1.3589375087686996e+114 < re < -5.324054775563344e-120

    1. Initial program 14.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    if -5.324054775563344e-120 < re < -1.6726008613769527e-306

    1. Initial program 26.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 34.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]

    if -1.6726008613769527e-306 < re < 9.129554876024421e+87

    1. Initial program 36.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--36.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/36.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div36.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified28.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied add-cube-cbrt29.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re}}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied add-cube-cbrt29.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}}{\sqrt{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}}\]

    if 9.129554876024421e+87 < re

    1. Initial program 59.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--59.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/59.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div59.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified42.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    7. Taylor expanded around inf 21.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}{\sqrt{\color{blue}{re} + re}}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification22.7

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.3589375087686996 \cdot 10^{+114}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\left(-re\right) - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -5.324054775563344 \cdot 10^{-120}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.6726008613769527 \cdot 10^{-306}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 9.129554876024421 \cdot 10^{+87}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}\right)}{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) + re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{re + re}}\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 16.7s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018221 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))