Average Error: 37.3 → 16.9
Time: 19.8s
Precision: 64
Internal Precision: 3648
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -9.58375624258051 \cdot 10^{+70}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\left(-re\right) - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.720784375198224 \cdot 10^{-306}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.1796750216464673 \cdot 10^{+142}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{re + \sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right|}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\frac{\left|im\right|}{\sqrt{re + re}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -9.58375624258051e+70

    1. Initial program 45.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 12.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{-1 \cdot re} - re\right)}\]

    3. Simplified12.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\left(-re\right)} - re\right)}\]

    if -9.58375624258051e+70 < re < 1.720784375198224e-306

    1. Initial program 20.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    if 1.720784375198224e-306 < re < 1.1796750216464673e+142

    1. Initial program 38.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied sqrt-prod38.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip--38.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\right)\]

    6. Applied sqrt-div38.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\right)\]

    7. Simplified20.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right)\]
    8. Using strategy rm

    9. Applied add-cube-cbrt20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re}}\right)\]

    10. Applied sqrt-prod20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re}}\right)\]

    11. Simplified20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} + re}}\right)\]

    if 1.1796750216464673e+142 < re

    1. Initial program 61.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied sqrt-prod61.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip--61.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\right)\]

    6. Applied sqrt-div61.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\right)\]

    7. Simplified47.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right)\]

    8. Taylor expanded around inf 7.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{re} + re}}\right)\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification16.9

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -9.58375624258051 \cdot 10^{+70}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\left(-re\right) - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.720784375198224 \cdot 10^{-306}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.1796750216464673 \cdot 10^{+142}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{re + \sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right|}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\frac{\left|im\right|}{\sqrt{re + re}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 19.8s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018220 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))