Average Error: 37.4 → 18.3
Time: 17.2s
Precision: 64
Internal Precision: 3392
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.138181961113662 \cdot 10^{+80}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}\right) \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -2.1623795656049374 \cdot 10^{-236}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}\right)}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \le 5.321773148611292 \cdot 10^{-160}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + im\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.5761557902101205 \cdot 10^{+86}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} + re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.4
Target33.0
Herbie18.3
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if re < -1.138181961113662e+80

    1. Initial program 58.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied sqrt-prod58.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip-+58.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    6. Applied sqrt-div58.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    7. Simplified40.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

    8. Taylor expanded around -inf 11.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{-1 \cdot re} - re}}\right)\]

    9. Simplified11.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{\left(-re\right)} - re}}\right)\]

    if -1.138181961113662e+80 < re < -2.1623795656049374e-236

    1. Initial program 38.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied sqrt-prod38.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip-+38.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    6. Applied sqrt-div38.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    7. Simplified19.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]
    8. Using strategy rm

    9. Applied add-cube-cbrt19.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)\]

    if -2.1623795656049374e-236 < re < 5.321773148611292e-160

    1. Initial program 29.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 32.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]

    if 5.321773148611292e-160 < re < 2.5761557902101205e+86

    1. Initial program 16.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt16.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod16.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    if 2.5761557902101205e+86 < re

    1. Initial program 45.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 10.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification18.3

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.138181961113662 \cdot 10^{+80}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}\right) \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -2.1623795656049374 \cdot 10^{-236}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}\right)}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \le 5.321773148611292 \cdot 10^{-160}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + im\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.5761557902101205 \cdot 10^{+86}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} + re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0}\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 17.2s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018219 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))