Average Error: 19.2 → 7.4
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Precision: 64
Internal Precision: 576
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \ge 0:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot c}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\\ \end{array}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \ge 0:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot c}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{b \cdot b - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}}{2 \cdot a}\\ \end{array} \le -6.943738160717102 \cdot 10^{-254}:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \ge 0:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot c}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{b \cdot b - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}}{2 \cdot a}\\ \end{array}\\ \mathbf{elif}\;\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \ge 0:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot c}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{b \cdot b - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}}{2 \cdot a}\\ \end{array} \le 9.5224799757336 \cdot 10^{-286}:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \ge 0:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot c}{(\left(\frac{a}{b}\right) \cdot c + \left(-b\right))_* \cdot 2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}{2 \cdot a}\\ \end{array}\\ \mathbf{elif}\;\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \ge 0:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot c}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{b \cdot b - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}}{2 \cdot a}\\ \end{array} \le 2.2613752952869574 \cdot 10^{+175}:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \ge 0:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot c}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{b \cdot b - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}}{2 \cdot a}\\ \end{array}\\ \mathbf{elif}\;b \ge 0:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot c}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{(\left(\frac{a}{b}\right) \cdot c + \left(-b\right))_* \cdot 2}{2 \cdot a}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if (if (>= b 0) (/ (* 2 c) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c))))) (/ (/ (- (* (- b) (- b)) (* (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c))) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c))))) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c))))) (* 2 a))) < -6.943738160717102e-254 or 9.5224799757336e-286 < (if (>= b 0) (/ (* 2 c) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c))))) (/ (/ (- (* (- b) (- b)) (* (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c))) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c))))) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c))))) (* 2 a))) < 2.2613752952869574e+175

    1. Initial program 2.0

      \[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \ge 0:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot c}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\\ \end{array}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+2.4

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \ge 0:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot c}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\left(-b\right) \cdot \left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}}{2 \cdot a}\\ \end{array}\]

    if -6.943738160717102e-254 < (if (>= b 0) (/ (* 2 c) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c))))) (/ (/ (- (* (- b) (- b)) (* (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c))) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c))))) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c))))) (* 2 a))) < 9.5224799757336e-286

    1. Initial program 36.1

      \[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \ge 0:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot c}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\\ \end{array}\]

    2. Taylor expanded around inf 14.3

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \ge 0:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot c}{\color{blue}{2 \cdot \frac{a \cdot c}{b} - 2 \cdot b}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\\ \end{array}\]

    3. Simplified12.2

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \ge 0:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot c}{\color{blue}{(\left(\frac{a}{b}\right) \cdot c + \left(-b\right))_* \cdot 2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\\ \end{array}\]

    if 2.2613752952869574e+175 < (if (>= b 0) (/ (* 2 c) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c))))) (/ (/ (- (* (- b) (- b)) (* (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c))) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c))))) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c))))) (* 2 a)))

    1. Initial program 28.6

      \[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \ge 0:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot c}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\\ \end{array}\]

    2. Taylor expanded around -inf 13.2

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \ge 0:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot c}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot \frac{a \cdot c}{b} - 2 \cdot b}{2 \cdot a}\\ \end{array}\]

    3. Simplified10.2

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \ge 0:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot c}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{(\left(\frac{a}{b}\right) \cdot c + \left(-b\right))_* \cdot 2}{2 \cdot a}\\ \end{array}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification7.4

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \ge 0:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot c}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{b \cdot b - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}}{2 \cdot a}\\ \end{array} \le -6.943738160717102 \cdot 10^{-254}:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \ge 0:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot c}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{b \cdot b - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}}{2 \cdot a}\\ \end{array}\\ \mathbf{elif}\;\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \ge 0:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot c}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{b \cdot b - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}}{2 \cdot a}\\ \end{array} \le 9.5224799757336 \cdot 10^{-286}:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \ge 0:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot c}{(\left(\frac{a}{b}\right) \cdot c + \left(-b\right))_* \cdot 2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}{2 \cdot a}\\ \end{array}\\ \mathbf{elif}\;\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \ge 0:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot c}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{b \cdot b - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}}{2 \cdot a}\\ \end{array} \le 2.2613752952869574 \cdot 10^{+175}:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \ge 0:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot c}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{b \cdot b - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}}{2 \cdot a}\\ \end{array}\\ \mathbf{elif}\;b \ge 0:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot c}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{(\left(\frac{a}{b}\right) \cdot c + \left(-b\right))_* \cdot 2}{2 \cdot a}\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 45.7s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018217 +o rules:numerics
(FPCore (a b c)
  :name "jeff quadratic root 2"
  (if (>= b 0) (/ (* 2 c) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c))))) (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c)))) (* 2 a))))