Average Error: 5.2 → 0.9
Time: 1.1m
Precision: 64
Internal Precision: 576
\[\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18.0\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - \left(a \cdot 4.0\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4.0\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27.0\right) \cdot k\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;(t \cdot \left(\left(z \cdot y\right) \cdot \left(x \cdot 18.0\right)\right) + \left((\left(4.0 \cdot a\right) \cdot \left(-t\right) + \left(b \cdot c\right))_*\right))_* - (j \cdot \left(k \cdot 27.0\right) + \left(\left(x \cdot 4.0\right) \cdot i\right))_* \le -4.284247924291455 \cdot 10^{+307} \lor \neg \left((t \cdot \left(\left(z \cdot y\right) \cdot \left(x \cdot 18.0\right)\right) + \left((\left(4.0 \cdot a\right) \cdot \left(-t\right) + \left(b \cdot c\right))_*\right))_* - (j \cdot \left(k \cdot 27.0\right) + \left(\left(x \cdot 4.0\right) \cdot i\right))_* \le 1.2692297721088755 \cdot 10^{+294}\right):\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(\left(z \cdot 18.0\right) \cdot \left(\left(t \cdot y\right) \cdot x\right) - t \cdot \left(4.0 \cdot a\right)\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4.0\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27.0\right) \cdot k\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(\left(t \cdot \left(\left(z \cdot y\right) \cdot x\right)\right) \cdot 18.0 - t \cdot \left(4.0 \cdot a\right)\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4.0\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27.0\right) \cdot k\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Bits error versus k

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if (- (fma t (* (* y z) (* x 18.0)) (fma (* a 4.0) (- t) (* c b))) (fma j (* k 27.0) (* (* x 4.0) i))) < -4.284247924291455e+307 or 1.2692297721088755e+294 < (- (fma t (* (* y z) (* x 18.0)) (fma (* a 4.0) (- t) (* c b))) (fma j (* k 27.0) (* (* x 4.0) i)))

    1. Initial program 26.5

      \[\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18.0\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - \left(a \cdot 4.0\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4.0\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27.0\right) \cdot k\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cube-cbrt26.6

      \[\leadsto \left(\left(\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\left(\left(x \cdot 18.0\right) \cdot y\right) \cdot z} \cdot \sqrt[3]{\left(\left(x \cdot 18.0\right) \cdot y\right) \cdot z}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left(x \cdot 18.0\right) \cdot y\right) \cdot z}\right)} \cdot t - \left(a \cdot 4.0\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4.0\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27.0\right) \cdot k\]

    4. Taylor expanded around 0 56.0

      \[\leadsto \left(\left(\left(\color{blue}{t \cdot e^{\log z + \left(\log 18.0 + \left(\log y + \log x\right)\right)}} - \left(a \cdot 4.0\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4.0\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27.0\right) \cdot k\]

    5. Simplified5.4

      \[\leadsto \left(\left(\left(\color{blue}{\left(18.0 \cdot z\right) \cdot \left(x \cdot \left(y \cdot t\right)\right)} - \left(a \cdot 4.0\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4.0\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27.0\right) \cdot k\]

    if -4.284247924291455e+307 < (- (fma t (* (* y z) (* x 18.0)) (fma (* a 4.0) (- t) (* c b))) (fma j (* k 27.0) (* (* x 4.0) i))) < 1.2692297721088755e+294

    1. Initial program 2.2

      \[\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18.0\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - \left(a \cdot 4.0\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4.0\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27.0\right) \cdot k\]

    2. Taylor expanded around inf 0.2

      \[\leadsto \left(\left(\left(\color{blue}{18.0 \cdot \left(t \cdot \left(x \cdot \left(z \cdot y\right)\right)\right)} - \left(a \cdot 4.0\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4.0\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27.0\right) \cdot k\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.9

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;(t \cdot \left(\left(z \cdot y\right) \cdot \left(x \cdot 18.0\right)\right) + \left((\left(4.0 \cdot a\right) \cdot \left(-t\right) + \left(b \cdot c\right))_*\right))_* - (j \cdot \left(k \cdot 27.0\right) + \left(\left(x \cdot 4.0\right) \cdot i\right))_* \le -4.284247924291455 \cdot 10^{+307} \lor \neg \left((t \cdot \left(\left(z \cdot y\right) \cdot \left(x \cdot 18.0\right)\right) + \left((\left(4.0 \cdot a\right) \cdot \left(-t\right) + \left(b \cdot c\right))_*\right))_* - (j \cdot \left(k \cdot 27.0\right) + \left(\left(x \cdot 4.0\right) \cdot i\right))_* \le 1.2692297721088755 \cdot 10^{+294}\right):\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(\left(z \cdot 18.0\right) \cdot \left(\left(t \cdot y\right) \cdot x\right) - t \cdot \left(4.0 \cdot a\right)\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4.0\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27.0\right) \cdot k\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(\left(t \cdot \left(\left(z \cdot y\right) \cdot x\right)\right) \cdot 18.0 - t \cdot \left(4.0 \cdot a\right)\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4.0\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27.0\right) \cdot k\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 1.1m)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018217 +o rules:numerics
(FPCore (x y z t a b c i j k)
  :name "Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm  from diagrams-solve-0.1"
  (- (- (+ (- (* (* (* (* x 18.0) y) z) t) (* (* a 4.0) t)) (* b c)) (* (* x 4.0) i)) (* (* j 27.0) k)))