Average Error: 37.9 → 21.5
Time: 36.1s
Precision: 64
Internal Precision: 3648
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(im + re\right) \cdot 2.0 \le -4.2805886752355315 \cdot 10^{+155}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\left(-re\right) - re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\left(im + re\right) \cdot 2.0 \le -8.18446543218483 \cdot 10^{+103}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0} \cdot \left(-im\right)}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\left(im + re\right) \cdot 2.0 \le -3.5782944474315156 \cdot 10^{-72}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt[3]{\left(\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)\right) \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\left(im + re\right) \cdot 2.0 \le 2.7765521219909455 \cdot 10^{+155}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;\left(im + re\right) \cdot 2.0 \le 5.0755436219229285 \cdot 10^{+287}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im + re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\left(im + re\right) \cdot 2.0 \le 1.194197213685898 \cdot 10^{+307}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im + re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.9
Target33.1
Herbie21.5
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 6 regimes

  2. if (* 2.0 (+ im re)) < -4.2805886752355315e+155

    1. Initial program 61.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+61.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/61.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div61.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified55.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    7. Taylor expanded around -inf 37.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{-1 \cdot re} - re}}\]

    8. Simplified37.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\left(-re\right)} - re}}\]

    if -4.2805886752355315e+155 < (* 2.0 (+ im re)) < -8.18446543218483e+103

    1. Initial program 29.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+29.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/29.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div29.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified8.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    7. Taylor expanded around -inf 13.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    8. Simplified13.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0} \cdot \left(-im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -8.18446543218483e+103 < (* 2.0 (+ im re)) < -3.5782944474315156e-72

    1. Initial program 27.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+27.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/27.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div27.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified11.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied add-cbrt-cube11.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)\right) \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}}\]

    if -3.5782944474315156e-72 < (* 2.0 (+ im re)) < 2.7765521219909455e+155

    1. Initial program 13.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 2.7765521219909455e+155 < (* 2.0 (+ im re)) < 5.0755436219229285e+287 or 1.194197213685898e+307 < (* 2.0 (+ im re))

    1. Initial program 61.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 26.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]

    if 5.0755436219229285e+287 < (* 2.0 (+ im re)) < 1.194197213685898e+307

    1. Initial program 61.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 30.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 6 regimes into one program.

  4. Final simplification21.5

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(im + re\right) \cdot 2.0 \le -4.2805886752355315 \cdot 10^{+155}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\left(-re\right) - re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\left(im + re\right) \cdot 2.0 \le -8.18446543218483 \cdot 10^{+103}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0} \cdot \left(-im\right)}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\left(im + re\right) \cdot 2.0 \le -3.5782944474315156 \cdot 10^{-72}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt[3]{\left(\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)\right) \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\left(im + re\right) \cdot 2.0 \le 2.7765521219909455 \cdot 10^{+155}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;\left(im + re\right) \cdot 2.0 \le 5.0755436219229285 \cdot 10^{+287}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im + re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\left(im + re\right) \cdot 2.0 \le 1.194197213685898 \cdot 10^{+307}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im + re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 36.1s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018217 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))