Average Error: 37.3 → 25.7
Time: 44.6s
Precision: 64
Internal Precision: 3648
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + im\right)} \le 2.008863767088536 \cdot 10^{-81}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + im\right)} \le 6.269260064933113 \cdot 10^{+61}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} + re} \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} + re}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} + re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + im\right)} \le 1.6835103256362358 \cdot 10^{+98}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + im\right)} \le 7.483158341143002 \cdot 10^{+121}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + im\right)} \le 1.5890501081262457 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.3
Target32.3
Herbie25.7
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ im re)))) < 2.008863767088536e-81 or 1.6835103256362358e+98 < (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ im re)))) < 7.483158341143002e+121

    1. Initial program 59.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 26.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]

    if 2.008863767088536e-81 < (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ im re)))) < 6.269260064933113e+61

    1. Initial program 0.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-exp-log3.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}} + re\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied add-cube-cbrt3.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(e^{\log \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}} + re\right)}\]

    6. Applied log-prod3.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(e^{\color{blue}{\log \left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}} + re\right)}\]

    7. Applied exp-sum3.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} \cdot e^{\log \left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}} + re\right)}\]

    8. Simplified2.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} \cdot e^{\log \left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} + re\right)}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied add-cube-cbrt2.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} + re} \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} + re}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} + re}\right)}}\]

    if 6.269260064933113e+61 < (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ im re)))) < 1.6835103256362358e+98 or 7.483158341143002e+121 < (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ im re)))) < 1.5890501081262457e+153

    1. Initial program 49.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 29.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]

    if 1.5890501081262457e+153 < (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ im re))))

    1. Initial program 45.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+45.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/45.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div45.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified34.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification25.7

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + im\right)} \le 2.008863767088536 \cdot 10^{-81}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + im\right)} \le 6.269260064933113 \cdot 10^{+61}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} + re} \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} + re}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} + re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + im\right)} \le 1.6835103256362358 \cdot 10^{+98}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + im\right)} \le 7.483158341143002 \cdot 10^{+121}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + im\right)} \le 1.5890501081262457 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 44.6s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018216 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))