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Derivation

1. Initial program 0.5

   \[\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)\]
2. Using strategy rm

3. Applied add-cube-cbrt2.0

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}\]
4. Using strategy rm

5. Applied add-cube-cbrt1.5

   \[\leadsto \left(\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}\right)}\]
6. Using strategy rm

7. Applied add-cube-cbrt0.5

   \[\leadsto \left(\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}\right)}\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}\right)\]

8. Applied associate-*r*0.5

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}\right)} \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}\right)\]

9. Final simplification0.5

   \[\leadsto \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right)}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right)}}\right)\right) \cdot \left(\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right)}}\right)\]

Runtime

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herbie shell --seed 2018216 
(FPCore (v)
  :name "Falkner and Boettcher, Appendix B, 1"
  (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))))