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Internal Precision: 3648
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im + re \le -1.001113992048564 \cdot 10^{+214}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sqrt{2.0}\right) \cdot \sqrt{\left(-im\right) - re}\\ \mathbf{elif}\;im + re \le -2.7931239159028835 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\left(-re\right) - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im + re \le 1.053846889363835 \cdot 10^{-261}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} - re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;im + re \le 3.884548363350248 \cdot 10^{-141} \lor \neg \left(im + re \le 3.380608431037051 \cdot 10^{+155}\right):\\ \;\;\;\;\sqrt{im + re} \cdot \left(0.5 \cdot \sqrt{2.0}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im + \left(re \cdot re - re \cdot re\right)\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} + re}}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if (+ re im) < -1.001113992048564e+214

    1. Initial program 61.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification61.2

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sqrt{2.0}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}\]

    3. Taylor expanded around -inf 26.9

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sqrt{2.0}\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{-1 \cdot im} - re}\]

    4. Simplified26.9

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sqrt{2.0}\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(-im\right)} - re}\]

    if -1.001113992048564e+214 < (+ re im) < -2.7931239159028835e+153

    1. Initial program 60.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 31.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{-1 \cdot re} - re\right)}\]

    3. Simplified31.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\left(-re\right)} - re\right)}\]

    if -2.7931239159028835e+153 < (+ re im) < 1.053846889363835e-261

    1. Initial program 6.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt6.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod6.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cube-cbrt6.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} - re\right)}\]

    7. Applied sqrt-prod6.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} - re\right)}\]

    8. Simplified6.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    if 1.053846889363835e-261 < (+ re im) < 3.884548363350248e-141 or 3.380608431037051e+155 < (+ re im)

    1. Initial program 60.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification60.8

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sqrt{2.0}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}\]

    3. Taylor expanded around -inf 62.0

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sqrt{2.0}\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{-\left(im + re\right)}}\]

    4. Simplified31.0

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sqrt{2.0}\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{re + im}}\]

    if 3.884548363350248e-141 < (+ re im) < 3.380608431037051e+155

    1. Initial program 29.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt29.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod30.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip--30.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}}}\]

    7. Applied associate-*r/30.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re\right)}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}}}\]

    8. Applied sqrt-div30.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}}}\]

    9. Simplified12.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im + \left(re \cdot re - re \cdot re\right)\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification19.2

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im + re \le -1.001113992048564 \cdot 10^{+214}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sqrt{2.0}\right) \cdot \sqrt{\left(-im\right) - re}\\ \mathbf{elif}\;im + re \le -2.7931239159028835 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\left(-re\right) - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im + re \le 1.053846889363835 \cdot 10^{-261}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} - re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;im + re \le 3.884548363350248 \cdot 10^{-141} \lor \neg \left(im + re \le 3.380608431037051 \cdot 10^{+155}\right):\\ \;\;\;\;\sqrt{im + re} \cdot \left(0.5 \cdot \sqrt{2.0}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im + \left(re \cdot re - re \cdot re\right)\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} + re}}\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 1.2m)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018214 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))