Average Error: 37.9 → 24.6
Time: 54.8s
Precision: 64
Internal Precision: 3648
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(im + re\right) \cdot 2.0 \le -5.162766686623599 \cdot 10^{+151}:\\ \;\;\;\;\frac{im \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} - re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\left(im + re\right) \cdot 2.0 \le 2.1074456747018375 \cdot 10^{-261}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\left(re \cdot re - re \cdot re\right) + im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} - re}}\\ \mathbf{elif}\;\left(im + re\right) \cdot 2.0 \le 4.622879207864321 \cdot 10^{-178}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(im + re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;\left(im + re\right) \cdot 2.0 \le 6.761216862074102 \cdot 10^{+155}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\left(im + re\right) \cdot 2.0 \le 2.2123692519931332 \cdot 10^{+229}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(im + re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.9
Target32.8
Herbie24.6
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if (* 2.0 (+ im re)) < -5.162766686623599e+151

    1. Initial program 61.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt61.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod61.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip-+61.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

    7. Applied associate-*r/61.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re\right)}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

    8. Applied sqrt-div61.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

    9. Simplified61.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im + \left(re \cdot re - re \cdot re\right)\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}\]

    10. Taylor expanded around 0 55.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot \sqrt{2.0}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}\]

    if -5.162766686623599e+151 < (* 2.0 (+ im re)) < 2.1074456747018375e-261

    1. Initial program 32.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt32.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod33.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip-+33.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

    7. Applied associate-*r/33.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re\right)}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

    8. Applied sqrt-div33.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

    9. Simplified18.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im + \left(re \cdot re - re \cdot re\right)\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}\]

    if 2.1074456747018375e-261 < (* 2.0 (+ im re)) < 4.622879207864321e-178 or 6.761216862074102e+155 < (* 2.0 (+ im re)) < 2.2123692519931332e+229

    1. Initial program 60.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 23.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]

    if 4.622879207864321e-178 < (* 2.0 (+ im re)) < 6.761216862074102e+155

    1. Initial program 1.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt1.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod2.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cube-cbrt2.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    if 2.2123692519931332e+229 < (* 2.0 (+ im re))

    1. Initial program 61.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 28.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification24.6

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(im + re\right) \cdot 2.0 \le -5.162766686623599 \cdot 10^{+151}:\\ \;\;\;\;\frac{im \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} - re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\left(im + re\right) \cdot 2.0 \le 2.1074456747018375 \cdot 10^{-261}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\left(re \cdot re - re \cdot re\right) + im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} - re}}\\ \mathbf{elif}\;\left(im + re\right) \cdot 2.0 \le 4.622879207864321 \cdot 10^{-178}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(im + re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;\left(im + re\right) \cdot 2.0 \le 6.761216862074102 \cdot 10^{+155}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\left(im + re\right) \cdot 2.0 \le 2.2123692519931332 \cdot 10^{+229}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(im + re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0}\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 54.8s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018214 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))