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Precision: 64
Internal Precision: 3648
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -3.1192463402099074 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-re\right) \cdot \left(2.0 + 2.0\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -3.5987304669685276 \cdot 10^{-109}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt[3]{\left(im \cdot im + re \cdot re\right) \cdot \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.3159243305423748 \cdot 10^{-126}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-re\right) \cdot \left(2.0 + 2.0\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.345660289688612 \cdot 10^{-185}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 4.8168374343607615 \cdot 10^{+113}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\frac{\sqrt{2.0}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{re + re}}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Results

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Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if re < -3.1192463402099074e+102 or -3.5987304669685276e-109 < re < -1.3159243305423748e-126

    1. Initial program 46.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 13.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{-1 \cdot re} - re\right)}\]

    3. Applied simplify13.0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(-re\right) \cdot \left(2.0 + 2.0\right)} \cdot 0.5}\]

    if -3.1192463402099074e+102 < re < -3.5987304669685276e-109

    1. Initial program 15.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cbrt-cube20.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    4. Applied simplify20.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(im \cdot im + re \cdot re\right) \cdot \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} - re\right)}\]

    if -1.3159243305423748e-126 < re < 1.345660289688612e-185

    1. Initial program 27.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 33.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]

    if 1.345660289688612e-185 < re < 4.8168374343607615e+113

    1. Initial program 41.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--41.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/41.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div41.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Applied simplify29.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sqrt-prod29.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    9. Applied simplify17.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
    10. Using strategy rm

    11. Applied *-un-lft-identity17.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}}}\]

    12. Applied sqrt-prod17.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    13. Applied times-frac17.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{2.0}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right)}\]

    if 4.8168374343607615e+113 < re

    1. Initial program 60.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--60.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/60.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div60.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Applied simplify44.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sqrt-prod44.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    9. Applied simplify43.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    10. Taylor expanded around inf 8.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{re} + re}}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

Runtime

Time bar (total: 55.3s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018208 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))