Average Error: 37.3 → 5.8
Time: 1.2m
Precision: 64
Internal Precision: 3648
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt[3]{(\left(\sqrt{re^2 + im^2}^*\right) \cdot 2.0 + \left(re \cdot 2.0\right))_*} \cdot \sqrt[3]{(\left(\sqrt{re^2 + im^2}^*\right) \cdot 2.0 + \left(re \cdot 2.0\right))_*}\right) \cdot \sqrt[3]{(\left(\sqrt{re^2 + im^2}^*\right) \cdot 2.0 + \left(re \cdot 2.0\right))_*}} \le 9.3872472709837 \cdot 10^{-323}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re^2 + im^2}^* - re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{(\left(\sqrt{re^2 + im^2}^*\right) \cdot 2.0 + \left(re \cdot 2.0\right))_*}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original37.3
Target32.7
Herbie5.8
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if (* 0.5 (sqrt (* (* (cbrt (fma (hypot re im) 2.0 (* re 2.0))) (cbrt (fma (hypot re im) 2.0 (* re 2.0)))) (cbrt (fma (hypot re im) 2.0 (* re 2.0)))))) < 9.3872472709837e-323

    1. Initial program 59.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+59.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/59.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div59.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Applied simplify38.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    7. Applied simplify23.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re^2 + im^2}^* - re}}}\]

    if 9.3872472709837e-323 < (* 0.5 (sqrt (* (* (cbrt (fma (hypot re im) 2.0 (* re 2.0))) (cbrt (fma (hypot re im) 2.0 (* re 2.0)))) (cbrt (fma (hypot re im) 2.0 (* re 2.0))))))

    1. Initial program 30.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Applied simplify0.3

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{(\left(\sqrt{re^2 + im^2}^*\right) \cdot 2.0 + \left(re \cdot 2.0\right))_*}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

Runtime

Time bar (total: 1.2m)Debug logProfile

herbie shell --seed '#(1072967564 1937075727 894099792 790700740 1036514779 1027793188)' +o rules:numerics
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))