Average Error: 33.1 → 20.6
Time: 2.8m
Precision: 64
Internal Precision: 2112
\[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.re \le -5.7094673066767 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re - \log \left(\frac{-1}{x.re}\right) \cdot y.im\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\\ \mathbf{if}\;x.re \le 2.0818545813214857 \cdot 10^{-160} \lor \neg \left(x.re \le 7.51649021166811 \cdot 10^{-05}\right):\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + y.im \cdot \log x.re\right)}{\frac{{\left(e^{y.im}\right)}^{\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}{{x.re}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt[3]{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus x.re

Bits error versus x.im

Bits error versus y.re

Bits error versus y.im

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if x.re < -5.7094673066767e-309

    1. Initial program 31.6

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    2. Taylor expanded around -inf 20.3

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re - \log \left(\frac{-1}{x.re}\right) \cdot y.im\right)}\]

    if -5.7094673066767e-309 < x.re < 2.0818545813214857e-160 or 7.51649021166811e-05 < x.re

    1. Initial program 40.3

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    2. Taylor expanded around inf 26.6

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \color{blue}{x.re} \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    3. Taylor expanded around inf 14.8

      \[\leadsto e^{\log \color{blue}{x.re} \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log x.re \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    4. Applied simplify20.2

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + y.im \cdot \log x.re\right)}{\frac{{\left(e^{y.im}\right)}^{\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}{{x.re}^{y.re}}}}\]

    if 2.0818545813214857e-160 < x.re < 7.51649021166811e-05

    1. Initial program 16.9

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cbrt-cube26.7

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\right) \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}}\]

    4. Applied simplify26.7

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + y.im \cdot \log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)}^{3}}}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cube-cbrt26.8

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + y.im \cdot \log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + y.im \cdot \log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + y.im \cdot \log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)}\right)}}^{3}}\]

    7. Applied unpow-prod-down26.8

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + y.im \cdot \log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + y.im \cdot \log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + y.im \cdot \log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)}\right)}^{3}}}\]

    8. Applied cbrt-prod23.1

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + y.im \cdot \log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + y.im \cdot \log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)}\right)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + y.im \cdot \log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)}\right)}^{3}}\right)}\]

    9. Applied simplify23.0

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + \log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot y.im\right) \cdot \sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + \log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot y.im\right)}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + y.im \cdot \log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)}\right)}^{3}}\right)\]

    10. Applied simplify22.9

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \left(\sqrt[3]{\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + \log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot y.im\right) \cdot \sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + \log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot y.im\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + \log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot y.im\right)}}\right)\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Applied simplify20.6

    \[\leadsto \color{blue}{\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.re \le -5.7094673066767 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re - \log \left(\frac{-1}{x.re}\right) \cdot y.im\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\\ \mathbf{if}\;x.re \le 2.0818545813214857 \cdot 10^{-160} \lor \neg \left(x.re \le 7.51649021166811 \cdot 10^{-05}\right):\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re + y.im \cdot \log x.re\right)}{\frac{{\left(e^{y.im}\right)}^{\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}{{x.re}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt[3]{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \cdot \sqrt[3]{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\\ \end{array}}\]

Runtime

Time bar (total: 2.8m)Debug logProfile

herbie shell --seed '#(1072840222 1305617769 1692503039 1353360431 4178980589 1488672652)' 
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "powComplex, imaginary part"
  (* (exp (- (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im))) (sin (+ (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re)))))