Average Error: 43.1 → 0.7
Time: 1.9m
Precision: 64
Internal Precision: 1344
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]
↓
\[{\left(\left(\frac{1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + 2\right) \cdot \left(im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-0.5\right)\right)\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{1}{60}\right) \cdot \left(\sin re \cdot \left(-0.5\right)\right)\right)}^{1}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original43.1
Target0.3
Herbie0.7
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| \lt 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(\frac{1}{6} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(\frac{1}{120} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Initial program 43.1

    \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]

  2. Taylor expanded around 0 0.7

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + \left(2 \cdot im + \frac{1}{3} \cdot {im}^{3}\right)\right)\right)}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied add-cube-cbrt1.6

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(-\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + \left(2 \cdot im + \frac{1}{3} \cdot {im}^{3}\right)} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + \left(2 \cdot im + \frac{1}{3} \cdot {im}^{3}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + \left(2 \cdot im + \frac{1}{3} \cdot {im}^{3}\right)}}\right)\]
  5. Using strategy rm

  6. Applied pow11.6

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{{\left(-\left(\sqrt[3]{\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + \left(2 \cdot im + \frac{1}{3} \cdot {im}^{3}\right)} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + \left(2 \cdot im + \frac{1}{3} \cdot {im}^{3}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + \left(2 \cdot im + \frac{1}{3} \cdot {im}^{3}\right)}\right)}^{1}}\]

  7. Applied pow11.6

    \[\leadsto \color{blue}{{\left(0.5 \cdot \sin re\right)}^{1}} \cdot {\left(-\left(\sqrt[3]{\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + \left(2 \cdot im + \frac{1}{3} \cdot {im}^{3}\right)} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + \left(2 \cdot im + \frac{1}{3} \cdot {im}^{3}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + \left(2 \cdot im + \frac{1}{3} \cdot {im}^{3}\right)}\right)}^{1}\]

  8. Applied pow-prod-down1.6

    \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(-\left(\sqrt[3]{\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + \left(2 \cdot im + \frac{1}{3} \cdot {im}^{3}\right)} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + \left(2 \cdot im + \frac{1}{3} \cdot {im}^{3}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + \left(2 \cdot im + \frac{1}{3} \cdot {im}^{3}\right)}\right)\right)}^{1}}\]

  9. Applied simplify0.7

    \[\leadsto {\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + 2\right) \cdot \left(im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-0.5\right)\right)\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{1}{60}\right) \cdot \left(\sin re \cdot \left(-0.5\right)\right)\right)}}^{1}\]

Runtime

Time bar (total: 1.9m)Debug logProfile

herbie shell --seed '#(1071821486 549052472 3784827256 1559736200 3548510075 881134285)' 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 1/6 im) im) im)) (* (* (* (* (* 1/120 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))