Average Error: 37.7 → 15.5
Time: 55.3s
Precision: 64
Internal Precision: 3648
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im + re \le -1.2612856906334137 \cdot 10^{+157}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}\right) \cdot 0.5}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}\\ \mathbf{if}\;im + re \le -5.4707400485860105 \cdot 10^{-139}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{if}\;im + re \le 3.697374298769537 \cdot 10^{-254}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}\right) \cdot 0.5}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}\\ \mathbf{if}\;im + re \le 6.465253163292806 \cdot 10^{-190}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{if}\;im + re \le 6.137703348346741 \cdot 10^{+141}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\\ \mathbf{if}\;im + re \le 1.1138279320716406 \cdot 10^{+286}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{if}\;im + re \le 1.1368564734353409 \cdot 10^{+297}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{im + re}\right)\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original37.7
Target32.9
Herbie15.5
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 6 regimes

  2. if (+ im re) < -1.2612856906334137e+157 or -5.4707400485860105e-139 < (+ im re) < 3.697374298769537e-254

    1. Initial program 60.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied sqrt-prod60.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip-+60.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    6. Applied sqrt-div60.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    7. Applied associate-*r/60.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    8. Applied simplify53.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    9. Taylor expanded around -inf 30.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\color{blue}{-1 \cdot re} - re}}\]

    10. Applied simplify30.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}\right) \cdot 0.5}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}}\]

    if -1.2612856906334137e+157 < (+ im re) < -5.4707400485860105e-139

    1. Initial program 27.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied sqrt-prod28.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip-+28.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    6. Applied sqrt-div28.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    7. Applied simplify1.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

    if 3.697374298769537e-254 < (+ im re) < 6.465253163292806e-190 or 6.137703348346741e+141 < (+ im re) < 1.1138279320716406e+286

    1. Initial program 57.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 26.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]

    if 6.465253163292806e-190 < (+ im re) < 6.137703348346741e+141

    1. Initial program 2.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt2.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod2.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    if 1.1138279320716406e+286 < (+ im re) < 1.1368564734353409e+297

    1. Initial program 61.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 31.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]

    if 1.1368564734353409e+297 < (+ im re)

    1. Initial program 61.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied sqrt-prod61.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\]

    4. Taylor expanded around 0 24.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\color{blue}{im} + re}\right)\]
  3. Recombined 6 regimes into one program.

Runtime

Time bar (total: 55.3s)Debug logProfile

herbie shell --seed '#(1071501266 3581234924 1086666455 2685055582 1243441566 1802958749)' 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))