Average Error: 35.3 → 32.7
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Precision: 64
Internal Precision: 576
\[\sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} + \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) + \left(\sqrt[3]{\sqrt{g \cdot g - h \cdot h}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{g \cdot g - h \cdot h}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{g \cdot g - h \cdot h}}\right)} + \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} \le -9.113788176670897 \cdot 10^{-108}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} + \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}} \cdot \sqrt[3]{\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}}\right)}\\ \mathbf{if}\;\sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) + \left(\sqrt[3]{\sqrt{g \cdot g - h \cdot h}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{g \cdot g - h \cdot h}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{g \cdot g - h \cdot h}}\right)} + \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} \le 1.77699508159095 \cdot 10^{-103}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} + \frac{\sqrt[3]{\left(-g\right) - g}}{\sqrt[3]{2 \cdot a}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{g \cdot g - h \cdot h} - g} \cdot \sqrt{\sqrt{g \cdot g - h \cdot h} - g}\right)} + \sqrt[3]{\frac{\frac{1}{2}}{a}} \cdot \sqrt[3]{\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus g

Bits error versus h

Bits error versus a

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if (+ (cbrt (* (/ 1 (* 2 a)) (+ (- g) (* (* (cbrt (sqrt (- (* g g) (* h h)))) (cbrt (sqrt (- (* g g) (* h h))))) (cbrt (sqrt (- (* g g) (* h h)))))))) (cbrt (* (/ 1 (* 2 a)) (- (- g) (sqrt (- (* g g) (* h h))))))) < -9.113788176670897e-108

    1. Initial program 10.1

      \[\sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} + \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cube-cbrt10.1

      \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} + \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}} \cdot \sqrt[3]{\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}}\right)}}\]

    if -9.113788176670897e-108 < (+ (cbrt (* (/ 1 (* 2 a)) (+ (- g) (* (* (cbrt (sqrt (- (* g g) (* h h)))) (cbrt (sqrt (- (* g g) (* h h))))) (cbrt (sqrt (- (* g g) (* h h)))))))) (cbrt (* (/ 1 (* 2 a)) (- (- g) (sqrt (- (* g g) (* h h))))))) < 1.77699508159095e-103

    1. Initial program 59.4

      \[\sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} + \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied associate-*l/59.4

      \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} + \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)}{2 \cdot a}}}\]

    4. Applied cbrt-div41.1

      \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} + \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1 \cdot \left(\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)}}{\sqrt[3]{2 \cdot a}}}\]

    5. Applied simplify41.1

      \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} + \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(-g\right) - \sqrt{\left(g - h\right) \cdot \left(g + h\right)}}}}{\sqrt[3]{2 \cdot a}}\]

    6. Taylor expanded around inf 8.1

      \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} + \frac{\sqrt[3]{\left(-g\right) - \color{blue}{g}}}{\sqrt[3]{2 \cdot a}}\]

    if 1.77699508159095e-103 < (+ (cbrt (* (/ 1 (* 2 a)) (+ (- g) (* (* (cbrt (sqrt (- (* g g) (* h h)))) (cbrt (sqrt (- (* g g) (* h h))))) (cbrt (sqrt (- (* g g) (* h h)))))))) (cbrt (* (/ 1 (* 2 a)) (- (- g) (sqrt (- (* g g) (* h h)))))))

    1. Initial program 43.2

      \[\sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} + \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied cbrt-prod41.9

      \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} + \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a}} \cdot \sqrt[3]{\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}}}\]

    4. Applied simplify41.9

      \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-g\right) + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}\right)} + \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{\frac{1}{2}}{a}}} \cdot \sqrt[3]{\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-sqr-sqrt42.3

      \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\left(-g\right) + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}} \cdot \sqrt{\left(-g\right) + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}}\right)}} + \sqrt[3]{\frac{\frac{1}{2}}{a}} \cdot \sqrt[3]{\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}}\]

    7. Applied simplify42.3

      \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{g \cdot g - h \cdot h} - g}} \cdot \sqrt{\left(-g\right) + \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}}\right)} + \sqrt[3]{\frac{\frac{1}{2}}{a}} \cdot \sqrt[3]{\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}}\]

    8. Applied simplify42.3

      \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{g \cdot g - h \cdot h} - g} \cdot \color{blue}{\sqrt{\sqrt{g \cdot g - h \cdot h} - g}}\right)} + \sqrt[3]{\frac{\frac{1}{2}}{a}} \cdot \sqrt[3]{\left(-g\right) - \sqrt{g \cdot g - h \cdot h}}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

Runtime

Time bar (total: 2.3m)Debug logProfile

herbie shell --seed '#(1071373924 2949776965 1885069702 3247780810 90874544 2263903749)' +o rules:numerics
(FPCore (g h a)
  :name "2-ancestry mixing, positive discriminant"
  (+ (cbrt (* (/ 1 (* 2 a)) (+ (- g) (sqrt (- (* g g) (* h h)))))) (cbrt (* (/ 1 (* 2 a)) (- (- g) (sqrt (- (* g g) (* h h))))))))