Average Error: 38.2 → 24.9
Time: 55.1s
Precision: 64
Internal Precision: 3648
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)} \le 4.446207948377839 \cdot 10^{-81}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{if}\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)} \le 4.926001281272784 \cdot 10^{+78}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\\ \mathbf{if}\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)} \le 7.30631568702163 \cdot 10^{+92}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{if}\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)} \le 7.7870096645314265 \cdot 10^{+121}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{if}\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)} \le 3.60485745625621 \cdot 10^{+151}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original38.2
Target33.1
Herbie24.9
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ im re)))) < 4.446207948377839e-81 or 7.30631568702163e+92 < (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ im re)))) < 7.7870096645314265e+121

    1. Initial program 59.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 25.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]

    if 4.446207948377839e-81 < (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ im re)))) < 4.926001281272784e+78

    1. Initial program 1.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt1.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod1.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-sqr-sqrt1.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    7. Applied sqrt-prod1.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    8. Applied sqrt-prod1.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} + re\right)}\]

    9. Applied associate-*r*1.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    if 4.926001281272784e+78 < (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ im re)))) < 7.30631568702163e+92 or 7.7870096645314265e+121 < (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ im re)))) < 3.60485745625621e+151

    1. Initial program 61.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 31.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]

    if 3.60485745625621e+151 < (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ im re))))

    1. Initial program 45.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+45.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/45.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div45.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Applied simplify34.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

Runtime

Time bar (total: 55.1s)Debug logProfile

herbie shell --seed '#(1071215679 2002590028 935158157 1944352234 2656991306 2955288481)' 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))