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Precision: 64
Internal Precision: 3648
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;2.0 \cdot \left(im + re\right) \le -7.842605776201258 \cdot 10^{+158}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|\right) \cdot 0.5}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}\\ \mathbf{if}\;2.0 \cdot \left(im + re\right) \le 5.255538043449715 \cdot 10^{-251}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\\ \mathbf{if}\;2.0 \cdot \left(im + re\right) \le 5.653739089360909 \cdot 10^{-149}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{if}\;2.0 \cdot \left(im + re\right) \le 1.6383255164296062 \cdot 10^{+148}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\\ \mathbf{if}\;2.0 \cdot \left(im + re\right) \le 9.558010746694755 \cdot 10^{+219}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{if}\;2.0 \cdot \left(im + re\right) \le 3.38018246578394 \cdot 10^{+290}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original37.5
Target32.8
Herbie16.1
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if (* 2.0 (+ im re)) < -7.842605776201258e+158

    1. Initial program 61.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+61.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/61.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div61.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Applied simplify55.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sqrt-prod55.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    9. Applied simplify56.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    10. Taylor expanded around -inf 32.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{-1 \cdot re} - re}}\]

    11. Applied simplify32.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|\right) \cdot 0.5}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}}\]

    if -7.842605776201258e+158 < (* 2.0 (+ im re)) < 5.255538043449715e-251

    1. Initial program 32.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+32.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/32.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div33.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Applied simplify19.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sqrt-prod19.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    9. Applied simplify8.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    10. Using strategy rm

    11. Applied add-sqr-sqrt8.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)}\]

    if 5.255538043449715e-251 < (* 2.0 (+ im re)) < 5.653739089360909e-149 or 1.6383255164296062e+148 < (* 2.0 (+ im re)) < 9.558010746694755e+219 or 3.38018246578394e+290 < (* 2.0 (+ im re))

    1. Initial program 56.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 25.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]

    if 5.653739089360909e-149 < (* 2.0 (+ im re)) < 1.6383255164296062e+148

    1. Initial program 0.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt0.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod0.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    if 9.558010746694755e+219 < (* 2.0 (+ im re)) < 3.38018246578394e+290

    1. Initial program 61.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 30.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

Runtime

Time bar (total: 1.3m)Debug logProfile

herbie shell --seed '#(1071119240 1686926585 3481876196 78132896 2080707795 3185793749)' 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))