Average Error: 37.3 → 24.1
Time: 34.6s
Precision: 64
Internal Precision: 3456
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;2.0 \cdot \left(im + re\right) \le 5.594157009680181 \cdot 10^{-233}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{if}\;2.0 \cdot \left(im + re\right) \le 3.36664998006033 \cdot 10^{-158}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{if}\;2.0 \cdot \left(im + re\right) \le 1.3232765964826289 \cdot 10^{+147}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original37.3
Target32.7
Herbie24.1
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if (* 2.0 (+ im re)) < 5.594157009680181e-233

    1. Initial program 44.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt44.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod45.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip-+45.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

    7. Applied associate-*r/45.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re\right)}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

    8. Applied sqrt-div45.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

    9. Applied simplify34.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}\]

    10. Applied simplify34.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\]

    if 5.594157009680181e-233 < (* 2.0 (+ im re)) < 3.36664998006033e-158 or 1.3232765964826289e+147 < (* 2.0 (+ im re))

    1. Initial program 58.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 25.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]

    if 3.36664998006033e-158 < (* 2.0 (+ im re)) < 1.3232765964826289e+147

    1. Initial program 0.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

Runtime

Time bar (total: 34.6s)Debug logProfile

herbie shell --seed '#(1070991898 1055468627 4280279443 640792587 928206309 3646738750)' 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))