Average Error: 37.8 → 20.5
Time: 55.0s
Precision: 64
Internal Precision: 3456
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;2.0 \cdot \left(im + re\right) \le -5.394249748984324 \cdot 10^{+156}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|\right) \cdot 0.5}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}\\ \mathbf{if}\;2.0 \cdot \left(im + re\right) \le -2.4246200254259762 \cdot 10^{-209}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\frac{\sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\right)\\ \mathbf{if}\;2.0 \cdot \left(im + re\right) \le 4.208973198604763 \cdot 10^{+147}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original37.8
Target32.7
Herbie20.5
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if (* 2.0 (+ im re)) < -5.394249748984324e+156

    1. Initial program 61.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+61.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/61.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div61.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Applied simplify54.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sqrt-prod54.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    9. Applied simplify55.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    10. Taylor expanded around -inf 30.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{-1 \cdot re} - re}}\]

    11. Applied simplify30.9

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|\right) \cdot 0.5}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}}\]

    if -5.394249748984324e+156 < (* 2.0 (+ im re)) < -2.4246200254259762e-209

    1. Initial program 30.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+30.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/30.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div31.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Applied simplify16.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied add-sqr-sqrt16.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\]

    9. Applied sqrt-prod16.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\]

    10. Applied sqrt-prod16.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    11. Applied times-frac16.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)}\]

    12. Applied simplify4.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\frac{\sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}}\right)\]

    if -2.4246200254259762e-209 < (* 2.0 (+ im re)) < 4.208973198604763e+147

    1. Initial program 9.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+34.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/34.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div34.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Applied simplify34.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sqrt-prod34.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    9. Applied simplify34.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    10. Using strategy rm

    11. Applied flip--34.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}}\]

    12. Applied simplify24.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    if 4.208973198604763e+147 < (* 2.0 (+ im re))

    1. Initial program 58.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 25.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

Runtime

Time bar (total: 55.0s)Debug logProfile

herbie shell --seed '#(1070706311 3771791028 4128836681 4194990999 2341756049 504035650)' 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))