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Precision: 64
Internal Precision: 384
\[\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)\]
↓
\[\left(\left(\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)} \cdot \sqrt{\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}}\]

Error

Bits error versus v

Derivation

  1. Initial program 0.5

    \[\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied add-sqr-sqrt1.5

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)} \cdot \sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}\]
  4. Using strategy rm

  5. Applied add-sqr-sqrt1.5

    \[\leadsto \sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)} \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)} \cdot \sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}}\]

  6. Applied sqrt-prod0.5

    \[\leadsto \sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}\right)}\]

  7. Applied associate-*r*1.5

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)} \cdot \sqrt{\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}}\]
  8. Using strategy rm

  9. Applied add-cube-cbrt1.5

    \[\leadsto \left(\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)} \cdot \sqrt{\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}}\right)}\]

  10. Applied associate-*r*0.5

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)} \cdot \sqrt{\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}}}\]

Runtime

Time bar (total: 2.1m)Debug logProfile

herbie shell --seed '#(1070609872 3456127585 2380521889 2328837196 1765472538 734540918)' 
(FPCore (v)
  :name "Falkner and Boettcher, Appendix B, 1"
  (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))))