Average Error: 37.7 → 15.4
Time: 48.6s
Precision: 64
Internal Precision: 3456
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;2.0 \cdot \left(im + re\right) \le -1.5872604636987436 \cdot 10^{+159}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}\right) \cdot 0.5}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}\\ \mathbf{if}\;2.0 \cdot \left(im + re\right) \le 1.4656020637038876 \cdot 10^{-273}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\sqrt{2.0}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{2.0}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{if}\;2.0 \cdot \left(im + re\right) \le 3.225943514710755 \cdot 10^{-144}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{if}\;2.0 \cdot \left(im + re\right) \le 1.2919995239625574 \cdot 10^{+155}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original37.7
Target33.0
Herbie15.4
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if (* 2.0 (+ im re)) < -1.5872604636987436e+159

    1. Initial program 61.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied sqrt-prod61.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip-+61.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    6. Applied sqrt-div61.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    7. Applied associate-*r/61.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    8. Applied simplify56.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    9. Taylor expanded around -inf 29.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\color{blue}{-1 \cdot re} - re}}\]

    10. Applied simplify29.7

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}\right) \cdot 0.5}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}}\]

    if -1.5872604636987436e+159 < (* 2.0 (+ im re)) < 1.4656020637038876e-273

    1. Initial program 32.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied sqrt-prod32.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip-+33.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    6. Applied sqrt-div33.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    7. Applied associate-*r/33.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    8. Applied simplify7.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied add-sqr-sqrt7.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{2.0}} \cdot \sqrt{\sqrt{2.0}}\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    11. Applied associate-*r*7.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\sqrt{2.0}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{2.0}}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if 1.4656020637038876e-273 < (* 2.0 (+ im re)) < 3.225943514710755e-144 or 1.2919995239625574e+155 < (* 2.0 (+ im re))

    1. Initial program 59.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 26.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]

    if 3.225943514710755e-144 < (* 2.0 (+ im re)) < 1.2919995239625574e+155

    1. Initial program 0.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied sqrt-prod0.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

Runtime

Time bar (total: 48.6s)Debug logProfile

herbie shell --seed '#(1070609872 3456127585 2380521889 2328837196 1765472538 734540918)' 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))