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Precision: 64
Internal Precision: 3456
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;2.0 \cdot \left(im + re\right) \le -4.0125979078362445 \cdot 10^{+156}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0} \cdot \left(0.5 \cdot \left|im\right|\right)}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}\\ \mathbf{if}\;2.0 \cdot \left(im + re\right) \le 2.7825009110149333 \cdot 10^{-269}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left(\left|im\right| \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{2.0}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2.0}}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2.0}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{if}\;2.0 \cdot \left(im + re\right) \le 1.9429233413685528 \cdot 10^{-125}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{if}\;2.0 \cdot \left(im + re\right) \le 3.3462703980395344 \cdot 10^{+166}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)\\ \mathbf{if}\;2.0 \cdot \left(im + re\right) \le 3.6901729893920858 \cdot 10^{+196}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{if}\;2.0 \cdot \left(im + re\right) \le 7.760725977184564 \cdot 10^{+227}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original37.4
Target32.4
Herbie16.8
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if (* 2.0 (+ im re)) < -4.0125979078362445e+156

    1. Initial program 61.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied sqrt-prod61.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip-+61.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    6. Applied sqrt-div61.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    7. Applied associate-*r/61.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    8. Applied simplify55.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    9. Taylor expanded around -inf 29.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\color{blue}{-1 \cdot re} - re}}\]

    10. Applied simplify29.8

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0} \cdot \left(0.5 \cdot \left|im\right|\right)}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}}\]

    if -4.0125979078362445e+156 < (* 2.0 (+ im re)) < 2.7825009110149333e-269

    1. Initial program 32.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied sqrt-prod32.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip-+32.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    6. Applied sqrt-div33.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    7. Applied associate-*r/33.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    8. Applied simplify6.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied add-cube-cbrt6.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{2.0}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2.0}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2.0}}\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    11. Applied associate-*r*6.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left(\left|im\right| \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{2.0}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2.0}}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2.0}}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if 2.7825009110149333e-269 < (* 2.0 (+ im re)) < 1.9429233413685528e-125 or 3.6901729893920858e+196 < (* 2.0 (+ im re)) < 7.760725977184564e+227

    1. Initial program 48.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 27.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]

    if 1.9429233413685528e-125 < (* 2.0 (+ im re)) < 3.3462703980395344e+166

    1. Initial program 4.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied sqrt-prod4.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\]

    if 3.3462703980395344e+166 < (* 2.0 (+ im re)) < 3.6901729893920858e+196 or 7.760725977184564e+227 < (* 2.0 (+ im re))

    1. Initial program 61.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 31.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

Runtime

Time bar (total: 2.1m)Debug logProfile

herbie shell --seed '#(1070258749 1877548225 2229079127 1588002776 3179087814 1886870650)' 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))