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Precision: 64
Internal Precision: 2944
\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\left(-b\right) + \sqrt{\sqrt[3]{{\left(\frac{(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right) + \left(\left(\left(-a\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot {\left(3 \cdot c\right)}^{3}\right))_*}{(\left((c \cdot \left(3 \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot \left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right))_*}\right)}^{3}}}}{3 \cdot a} \le -5.6073782883227915 \cdot 10^{-36}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(-b\right) + \sqrt{\sqrt[3]{{\left(\frac{(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right) + \left(\left(\left(-a\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot {\left(3 \cdot c\right)}^{3}\right))_*}{(\left((c \cdot \left(3 \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot \left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right))_*}\right)}^{3}}}}{3 \cdot a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(-b\right) + \sqrt{\frac{{\left(b \cdot b\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)}^{3}}{\log \left(e^{(\left((c \cdot \left(3 \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot \left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right))_*}\right)}}}{3 \cdot a}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus d

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if (/ (+ (- b) (sqrt (cbrt (pow (/ (fma (* (* b b) (* b b)) (* b b) (* (* (- a) (* a a)) (pow (* 3 c) 3))) (fma (fma c (* 3 a) (* b b)) (* a (* 3 c)) (* (* b b) (* b b)))) 3)))) (* 3 a)) < -5.6073782883227915e-36

    1. Initial program 33.6

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip3--33.7

      \[\leadsto \frac{\left(-b\right) + \sqrt{\color{blue}{\frac{{\left(b \cdot b\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)}^{3}}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) + \left(\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)}}}}{3 \cdot a}\]

    4. Applied simplify33.7

      \[\leadsto \frac{\left(-b\right) + \sqrt{\frac{{\left(b \cdot b\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)}^{3}}{\color{blue}{(\left((c \cdot \left(3 \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot \left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right))_*}}}}{3 \cdot a}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cbrt-cube34.9

      \[\leadsto \frac{\left(-b\right) + \sqrt{\frac{{\left(b \cdot b\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)}^{3}}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left((\left((c \cdot \left(3 \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot \left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right))_* \cdot (\left((c \cdot \left(3 \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot \left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right))_*\right) \cdot (\left((c \cdot \left(3 \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot \left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right))_*}}}}}{3 \cdot a}\]

    7. Applied add-cbrt-cube40.5

      \[\leadsto \frac{\left(-b\right) + \sqrt{\frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left({\left(b \cdot b\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)}^{3}\right) \cdot \left({\left(b \cdot b\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)}^{3}\right)\right) \cdot \left({\left(b \cdot b\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)}^{3}\right)}}}{\sqrt[3]{\left((\left((c \cdot \left(3 \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot \left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right))_* \cdot (\left((c \cdot \left(3 \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot \left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right))_*\right) \cdot (\left((c \cdot \left(3 \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot \left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right))_*}}}}{3 \cdot a}\]

    8. Applied cbrt-undiv40.1

      \[\leadsto \frac{\left(-b\right) + \sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{\left(\left({\left(b \cdot b\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)}^{3}\right) \cdot \left({\left(b \cdot b\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)}^{3}\right)\right) \cdot \left({\left(b \cdot b\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)}^{3}\right)}{\left((\left((c \cdot \left(3 \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot \left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right))_* \cdot (\left((c \cdot \left(3 \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot \left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right))_*\right) \cdot (\left((c \cdot \left(3 \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot \left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right))_*}}}}}{3 \cdot a}\]

    9. Applied simplify33.1

      \[\leadsto \frac{\left(-b\right) + \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(\frac{(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right) + \left(\left(\left(-a\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot {\left(3 \cdot c\right)}^{3}\right))_*}{(\left((c \cdot \left(3 \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot \left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right))_*}\right)}^{3}}}}}{3 \cdot a}\]

    if -5.6073782883227915e-36 < (/ (+ (- b) (sqrt (cbrt (pow (/ (fma (* (* b b) (* b b)) (* b b) (* (* (- a) (* a a)) (pow (* 3 c) 3))) (fma (fma c (* 3 a) (* b b)) (* a (* 3 c)) (* (* b b) (* b b)))) 3)))) (* 3 a))

    1. Initial program 61.9

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip3--61.8

      \[\leadsto \frac{\left(-b\right) + \sqrt{\color{blue}{\frac{{\left(b \cdot b\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)}^{3}}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) + \left(\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)}}}}{3 \cdot a}\]

    4. Applied simplify61.8

      \[\leadsto \frac{\left(-b\right) + \sqrt{\frac{{\left(b \cdot b\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)}^{3}}{\color{blue}{(\left((c \cdot \left(3 \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot \left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right))_*}}}}{3 \cdot a}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-log-exp59.4

      \[\leadsto \frac{\left(-b\right) + \sqrt{\frac{{\left(b \cdot b\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)}^{3}}{\color{blue}{\log \left(e^{(\left((c \cdot \left(3 \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot \left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right))_*}\right)}}}}{3 \cdot a}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

Runtime

Time bar (total: 1.3m)Debug logProfile

herbie shell --seed '#(1070227846 1561819246 480764335 4016816270 2602869839 2117310382)' +o rules:numerics
(FPCore (a b c d)
  :name "Cubic critical, wide range"
  :pre (and (< 4.930380657631324e-32 a 2.028240960365167e+31) (< 4.930380657631324e-32 b 2.028240960365167e+31) (< 4.930380657631324e-32 c 2.028240960365167e+31))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))