Average Error: 29.4 → 0.1
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Precision: 64
Internal Precision: 1408
\[\frac{x}{x + 1} - \frac{x + 1}{x - 1}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\frac{-3}{x} + \frac{-1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{x} + 1\right)}} \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{-3}{x} + \frac{-1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{x} + 1\right)} \cdot \sqrt[3]{\frac{-3}{x} + \frac{-1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{x} + 1\right)}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\frac{-3}{x} + \frac{-1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{x} + 1\right)} \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \frac{\sqrt[3]{-3}}{x}\right) \cdot \left(\frac{1}{9} + \frac{\frac{26}{81}}{x}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot -3}\right)} \le -0.008509995799931691:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(x - 1\right) - \left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}{\left(x + 1\right) \cdot \left(x - 1\right)}\\ \mathbf{if}\;\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\frac{-3}{x} + \frac{-1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{x} + 1\right)}} \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{-3}{x} + \frac{-1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{x} + 1\right)} \cdot \sqrt[3]{\frac{-3}{x} + \frac{-1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{x} + 1\right)}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\frac{-3}{x} + \frac{-1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{x} + 1\right)} \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \frac{\sqrt[3]{-3}}{x}\right) \cdot \left(\frac{1}{9} + \frac{\frac{26}{81}}{x}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot -3}\right)} \le 0.00030879751590440435:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{3}{x}\right) \cdot \frac{-1}{x \cdot x} + \left(-\frac{3}{x}\right)\\ \mathbf{if}\;\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\frac{-3}{x} + \frac{-1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{x} + 1\right)}} \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{-3}{x} + \frac{-1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{x} + 1\right)} \cdot \sqrt[3]{\frac{-3}{x} + \frac{-1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{x} + 1\right)}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\frac{-3}{x} + \frac{-1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{x} + 1\right)} \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \frac{\sqrt[3]{-3}}{x}\right) \cdot \left(\frac{1}{9} + \frac{\frac{26}{81}}{x}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot -3}\right)} \le +\infty:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{x}{x + 1} - \frac{x + 1}{x - 1}} \cdot \sqrt{\frac{x}{x + 1} - \frac{x + 1}{x - 1}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{x}{x + 1} - \frac{x + 1}{x - 1}} \cdot \sqrt{\frac{x}{x + 1} - \frac{x + 1}{x - 1}}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus x

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if (* (* (cbrt (cbrt (+ (/ (- 3) x) (* (/ (- 1) (* x x)) (+ (/ 3 x) 1))))) (* (cbrt (+ (/ (- 3) x) (* (/ (- 1) (* x x)) (+ (/ 3 x) 1)))) (cbrt (+ (/ (- 3) x) (* (/ (- 1) (* x x)) (+ (/ 3 x) 1)))))) (cbrt (* (cbrt (+ (/ (- 3) x) (* (/ (- 1) (* x x)) (+ (/ 3 x) 1)))) (+ (* (* (cbrt (/ 1 x)) (/ (cbrt -3) x)) (+ 1/9 (/ 26/81 x))) (cbrt (* (/ 1 x) -3)))))) < -0.008509995799931691

    1. Initial program 0.1

      \[\frac{x}{x + 1} - \frac{x + 1}{x - 1}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied frac-sub0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot \left(x - 1\right) - \left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}{\left(x + 1\right) \cdot \left(x - 1\right)}}\]

    if -0.008509995799931691 < (* (* (cbrt (cbrt (+ (/ (- 3) x) (* (/ (- 1) (* x x)) (+ (/ 3 x) 1))))) (* (cbrt (+ (/ (- 3) x) (* (/ (- 1) (* x x)) (+ (/ 3 x) 1)))) (cbrt (+ (/ (- 3) x) (* (/ (- 1) (* x x)) (+ (/ 3 x) 1)))))) (cbrt (* (cbrt (+ (/ (- 3) x) (* (/ (- 1) (* x x)) (+ (/ 3 x) 1)))) (+ (* (* (cbrt (/ 1 x)) (/ (cbrt -3) x)) (+ 1/9 (/ 26/81 x))) (cbrt (* (/ 1 x) -3)))))) < 0.00030879751590440435

    1. Initial program 59.0

      \[\frac{x}{x + 1} - \frac{x + 1}{x - 1}\]

    2. Taylor expanded around inf 0.4

      \[\leadsto \color{blue}{-\left(3 \cdot \frac{1}{{x}^{3}} + \left(3 \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)}\]

    3. Applied simplify0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \frac{3}{x}\right) \cdot \frac{-1}{x \cdot x} + \left(-\frac{3}{x}\right)}\]

    if 0.00030879751590440435 < (* (* (cbrt (cbrt (+ (/ (- 3) x) (* (/ (- 1) (* x x)) (+ (/ 3 x) 1))))) (* (cbrt (+ (/ (- 3) x) (* (/ (- 1) (* x x)) (+ (/ 3 x) 1)))) (cbrt (+ (/ (- 3) x) (* (/ (- 1) (* x x)) (+ (/ 3 x) 1)))))) (cbrt (* (cbrt (+ (/ (- 3) x) (* (/ (- 1) (* x x)) (+ (/ 3 x) 1)))) (+ (* (* (cbrt (/ 1 x)) (/ (cbrt -3) x)) (+ 1/9 (/ 26/81 x))) (cbrt (* (/ 1 x) -3))))))

    1. Initial program 0.1

      \[\frac{x}{x + 1} - \frac{x + 1}{x - 1}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt0.2

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{x}{x + 1} - \frac{x + 1}{x - 1}} \cdot \sqrt{\frac{x}{x + 1} - \frac{x + 1}{x - 1}}}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

Runtime

Time bar (total: 1.3m)Debug logProfile

herbie shell --seed '#(1070131407 1246090267 3027482374 2150728003 2026520792 2347815650)' 
(FPCore (x)
  :name "Asymptote C"
  (- (/ x (+ x 1)) (/ (+ x 1) (- x 1))))