Average Error: 43.1 → 0.8

Time: 38.7s

Precision: 64

Internal Precision: 1408

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]

↓

\[\left(\sin re \cdot \left(im \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-(\left(\frac{1}{3} \cdot im\right) \cdot im + 2)_*\right) + \left(\left(-0.5\right) \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{5} \cdot \frac{1}{60}\right)\]

Error

The X axis uses an exponential scale — Bits error versus `re`

Target

Original	43.1
Target	0.3
Herbie	0.8

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| \lt 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(\frac{1}{6} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(\frac{1}{120} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array}\]

Derivation

Initial program 43.1
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]
Taylor expanded around 0 0.8
\[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + \left(2 \cdot im + \frac{1}{3} \cdot {im}^{3}\right)\right)\right)}\]
Applied simplify0.8
\[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.5\right) \cdot \sin re\right) \cdot (im \cdot \left((\left(\frac{1}{3} \cdot im\right) \cdot im + 2)_*\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{1}{60}\right))_*}\]
Using strategy rm
Applied add-sqr-sqrt1.6
\[\leadsto \left(\left(-0.5\right) \cdot \sin re\right) \cdot (im \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{(\left(\frac{1}{3} \cdot im\right) \cdot im + 2)_*} \cdot \sqrt{(\left(\frac{1}{3} \cdot im\right) \cdot im + 2)_*}\right)} + \left({im}^{5} \cdot \frac{1}{60}\right))_*\]
Using strategy rm
Applied fma-udef1.6
\[\leadsto \left(\left(-0.5\right) \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\sqrt{(\left(\frac{1}{3} \cdot im\right) \cdot im + 2)_*} \cdot \sqrt{(\left(\frac{1}{3} \cdot im\right) \cdot im + 2)_*}\right) + {im}^{5} \cdot \frac{1}{60}\right)}\]
Applied distribute-lft-in1.6
\[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.5\right) \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\sqrt{(\left(\frac{1}{3} \cdot im\right) \cdot im + 2)_*} \cdot \sqrt{(\left(\frac{1}{3} \cdot im\right) \cdot im + 2)_*}\right)\right) + \left(\left(-0.5\right) \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{5} \cdot \frac{1}{60}\right)}\]
Applied simplify0.8
\[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(im \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-(\left(\frac{1}{3} \cdot im\right) \cdot im + 2)_*\right)} + \left(\left(-0.5\right) \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{5} \cdot \frac{1}{60}\right)\]

Runtime

herbie shell --seed '#(1064269945 2896236262 301053905 1701069080 1701464310 1614783279)' +o rules:numerics
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 1/6 im) im) im)) (* (* (* (* (* 1/120 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))