Average Error: 37.3 → 18.4
Time: 1.5m
Precision: 64
Internal Precision: 3456
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.347927044271353 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}\\ \mathbf{if}\;re \le -4.966452474631809 \cdot 10^{-306}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\frac{\sqrt{2.0}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\right)\\ \mathbf{if}\;re \le 7.721720839093984 \cdot 10^{+89}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original37.3
Target32.3
Herbie18.4
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -1.347927044271353e+154

    1. Initial program 62.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+62.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/62.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div62.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Applied simplify50.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    7. Taylor expanded around -inf 19.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{-1 \cdot re} - re}}\]

    8. Applied simplify19.2

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}}\]

    if -1.347927044271353e+154 < re < -4.966452474631809e-306

    1. Initial program 39.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+39.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/39.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div39.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Applied simplify29.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied *-un-lft-identity29.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

    9. Applied sqrt-prod29.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    10. Applied sqrt-prod29.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    11. Applied times-frac29.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{2.0}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

    12. Applied simplify20.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\frac{\sqrt{2.0}}{\sqrt{1}} \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\right)\]

    if -4.966452474631809e-306 < re < 7.721720839093984e+89

    1. Initial program 20.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 7.721720839093984e+89 < re

    1. Initial program 45.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 9.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.
  4. Removed slow pow expressions.

Runtime

Time bar (total: 1.5m)Debug logProfile

herbie shell --seed '#(1063027428 1192549564 1443466578 604016274 3637110559 1698629644)' 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))