\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
Test:
math.sqrt on complex, real part
Bits:
128 bits
Bits error versus re
Bits error versus im
Time: 17.4 s
Input Error: 38.5
Output Error: 19.2
Log: ⚲
Profile: 🕒
\(\begin{cases} 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{-2 \cdot re}} & \text{when } re \le -9.387150454639085 \cdot 10^{+120} \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}} & \text{when } re \le 9.995586505648043 \cdot 10^{-300} \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)} & \text{when } re \le 1.4185225113380942 \cdot 10^{-111} \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}} & \text{when } re \le 2.853275221328354 \cdot 10^{-97} \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt[3]{{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}^3\right)}^3} + re\right)} & \text{when } re \le 1.5261071406778172 \cdot 10^{+112} \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)} & \text{otherwise} \end{cases}\)

    if re < -9.387150454639085e+120

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      60.9
    2. Using strategy rm
      60.9
    3. Applied flip-+ to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{red}{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      60.9
    4. Applied associate-*r/ to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{\color{red}{2.0 \cdot \frac{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      60.9
    5. Applied sqrt-div to get
      \[0.5 \cdot \color{red}{\sqrt{\frac{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      60.9
    6. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\color{red}{\sqrt{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
      46.7
    7. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\color{red}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}}}\]
      46.7
    8. Applied taylor to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{-2 \cdot re}}\]
      20.1
    9. Taylor expanded around -inf to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{\color{red}{-2 \cdot re}}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\]
      20.1

    if -9.387150454639085e+120 < re < 9.995586505648043e-300 or 1.4185225113380942e-111 < re < 2.853275221328354e-97

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      36.7
    2. Using strategy rm
      36.7
    3. Applied flip-+ to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{red}{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      37.3
    4. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{\color{red}{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
      30.2
    5. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{red}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}}}\]
      30.2

    if 9.995586505648043e-300 < re < 1.4185225113380942e-111

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      23.8
    2. Applied taylor to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\]
      0.0
    3. Taylor expanded around 0 to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{red}{im} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]
      0.0

    if 2.853275221328354e-97 < re < 1.5261071406778172e+112

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      15.7
    2. Using strategy rm
      15.7
    3. Applied add-cube-cbrt to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{red}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}^3} + re\right)}\]
      16.1
    4. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left({\color{red}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}}^3 + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}}^3 + re\right)}\]
      16.1
    5. Using strategy rm
      16.1
    6. Applied add-cbrt-cube to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{red}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}^3} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}^3\right)}^3}} + re\right)}\]
      23.0

    if 1.5261071406778172e+112 < re

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      52.4
    2. Applied taylor to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\]
      0.3
    3. Taylor expanded around inf to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{red}{re} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
      0.3
  1. Removed slow pow expressions

Original test:


(lambda ((re default) (im default))
  #:name "math.sqrt on complex, real part"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
  #:target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (sqr im) (- (sqrt (+ (sqr re) (sqr im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))))